Este potencial vectorial da un campo magnético monopolar, ¿qué tiene de malo?

Question

$\mathbf{A} = \frac{g(1-\cos\theta)}{r\sin\theta} \mathbf{\hat\phi} \Rightarrow \mathbf{B} = g \mathbf{\hat r}/r^2$

Pero, sin embargo, la existencia de $\mathbf{A}$ depende de que no haya monopolos magnéticos. ¿El problema se debe a que $\mathbf{A}$ tiene singularidades?

Answer 1

Sí, tiene problemas con este potencial debido a la singularidad. Tenga en cuenta que usted quiere que la singularidad en $r=0$ , ya que estás hablando de una carga puntual (y el potencial eléctrico es singular en la posición de una partícula).

También hay otro problema enorme: usted sabe que $\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=0$ , ya que está tomando el gradiente de un rizo. Debido a este hecho, no se puede tener carga magnética: recordar que, para una carga puntual en el origen, $\vec \nabla\cdot \vec E=q\delta^3(\vec x)$ . Que $\delta^3$ es lo que nos permite decir que, en cualquier conjunto que contenga el origen, tenemos una carga total $q$ . Esto no funciona con el campo magnético, cuando integramos de forma ingenua.

Estos dos problemas pueden resolverse introduciendo el concepto de haces de fibras. Intentaré no utilizarlos, pero sepan para futuras referencias que la teoría gauge moderna está formulada en torno al concepto de haces de fibras, que permiten describir cosas como los monopolos magnéticos de forma correcta.

Me referiré a los solitones topológicos de Manton y Sutcliffe para responder. En el capítulo 8 hablan de los monopolos magnéticos.

Examinemos su potencial. Asumo que tu coordenada azimutal $\theta$ va de $0$ a $\pi$ como debería ser el caso para que su potencial funcione. Puedes elegir entre dos potenciales: $$ \vec A_+=\frac{g}{4\pi r}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi,\quad\vec A_-=\frac{g}{4\pi r}\frac{-1-\cos\theta}{\sin\theta}\hat \phi. $$ Se puede comprobar que ambos potenciales tienen $\vec B$ como rizo, cuandover $r\neq 0$ , $\theta\neq 0$ y $\theta\neq\pi$ . El complemento $4\pi$ es sólo una redefinición de $g$ que es conveniente ya que hace que el flujo del campo magnético sea igual a la carga magnética, sin constante de proporcionalidad. ¿Qué potencial utilizaremos? La respuesta es "ambos". Observa que el primer potencial es no singular en $\theta=0$ (polo norte, por definición), mientras que el segundo es no singular en $\theta=\pi$ (realiza el límite: existe y es 0, por lo que puedes extender la definición de forma continua).

Supongamos que se desea hallar el campo magnético a una distancia dada del monopolo, $R$ . En lenguaje moderno, se busca el campo magnético en una 2-esfera de radio $R$ que llamaré $S^2_R$ bajo la condición límite de que el flujo de este campo magnético sobre todo el $S^2_R$ debe ser igual a la carga magnética: $$ \int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=g, $$ donde $\vec S$ es el vector que apunta hacia el exterior de la esfera.

El hecho clave es que la esfera $S^2_R$ no puede describirse mediante un simple conjunto de coordenadas $(\theta,\phi)$ sin excluir uno de los polos. En lenguaje de geometría diferencial, se tiene que $S^2_R$ no es una variedad trivial, y se necesitan al menos dos sistemas de coordenadas para cubrir toda la esfera. Sea $\theta_N$ y $\theta_S$ ser ángulos como $0<\theta_S<\theta_N<\pi$ puede utilizar un sistema de coordenadas $(\theta_+,\phi_+)$ donde $0\leq\theta_+<\theta_N$ y otro sistema de coordenadas $(\theta_-,\phi_-)$ donde $\theta_S<\theta_-\leq\pi$ . Ahora, debido al hecho de que $\theta_S<\theta_N$ Si el sistema de coordenadas es el mismo, se tiene que esos dos sistemas de coordenadas cubren toda la esfera, en el sentido de que cualquier punto está descrito por al menos uno de esos conjuntos de coordenadas. Cuando está descrito por ambos conjuntos (como es el caso de todos los puntos de la franja $\theta_S<\theta<\theta_N$ debe tener una función de transición, que asocie una coordenada de un conjunto a una coordenada de otro (en este caso, basta con tomar la misma $\theta$ pero es posible elegir opciones más complicadas).

Una teoría gauge sobre la esfera es (hablando en serio) una asignación de un campo gauge $\vec A$ en cualquier parte de la esfera. Ahora podemos decir que $\vec A_+$ describe el potencial en el $(\theta_+,\phi_+)$ por lo que se extiende hasta el polo norte (donde es no singular). Asignamos el potencial $\vec A_-$ al polo sur (donde es no singular). Ahora bien, ¿qué podemos decir sobre la cuerda superpuesta? Se puede comprobar que, en la tira $$ \vec A_-=\vec A_+-\vec\nabla\left(\frac{g}{2\pi}\phi\right). $$ No necesito especificar $\phi_1$ o $\phi_2$ ya que el mapa de transición es la identidad. Se trata exactamente de una transformación gauge. Debido al hecho de que los campos están relacionados por una transformación gauge, se puede decir que describen el mismo campo físico.

¿Cómo resuelve esta construcción el problema de la carga magnética? ¿O funciona aquí la condición de flujo? Una explicación rigurosa (y rápida) requeriría nociones de integración en geometría diferencial, así que optaré por una respuesta intuitiva. Si se toma $\theta_N$ y $\theta_S$ como el ecuador $\theta=\frac\pi2$ está en la región de solapamiento, se puede dividir la integral como $$ \int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{NP}\vec\nabla\times\vec A_+\cdot d\vec S+\int_{SP}\vec\nabla\times\vec A_-\cdot d\vec S. $$ Toma, $NP$ significa $\theta<\frac{\pi}{2}$ y $SP$ significa $\theta>\frac{\pi}{2}$ . Obsérvese que el ecuador no pertenece a $NP$ o $SP$ pero es una recta y las integrales de funciones bien definidas sobre esa recta son $0$ . El ecuador es un límite tanto para el polo norte como para el polo sur, por lo que podemos utilizar el teorema de Stokes: es inmediato entonces convencerse de que la integral anterior es igual a dos integrales de línea sobre el ecuador, tomadas una vez en el sentido de las agujas del reloj y la otra en sentido contrario: $$ \int_{S^2_R}\vec B\cdot d\vec S=\int_{equator}\vec A_{1}\cdot d\vec l-\int_{equator} \vec A_2\cdot d\vec l=2\pi R\left(\frac{g}{4\pi R}+\frac{g}{4\pi R}\right)=g. $$ Eso sí, no es la forma adecuada de proceder. Tómalo sólo por intuición.

Para concluir, los monopolos magnéticos son teóricamente posibles, y se puede escribir un potencial para un monopolo magnético. Pero hay que utilizar las nociones de gráficos de coordenadas para definir el potencial sin ambigüedad, y obtener un análogo de la ley de Gauss para el magnetismo. Tu potencial es parte de la solución. Si realmente te interesan las teorías gauge, tendrás que aprender mucho de geometría diferencial y lo básico de los haces de fibras para poder hacer las cosas más divertidas con los campos gauge.