Hallar la aproximación cuadrática

Question

Para un gas ideal a temperatura constante, las variables $p$ (presión) y $v$ (volumen) están relacionados por la ecuación $pv^k=c$ donde $k$ y $c$ son constantes. Si el volumen se modifica ligeramente de $v$ a $v+v$ ¿Qué aproximación cuadrática expresa $p$ en términos de $v$ que utilizaría?

(Hallar la aproximación válida para $v0$ .)

los problemas con las letras definitivamente no son mi moda.
¿alguien podría ayudarme?

Answer 1

Sugerencia : Piensa en $p$ en función de $v$ : $$p(v) = \frac{c}{v^k}.$$ La aproximación cuadrática en torno a $v$ sería: $$p(v+\Delta v) \approx p(v) + p'(v)\Delta v + \frac{p''(v)}{2} (\Delta v)^2$$

Answer 2

Posiblemente algo como intentar ampliar $p(v+\Delta v)^{k}=c$ con \begin{eqnarray} (v+\Delta v)^{k} &=& \sum_{j=0}^{k} {k \choose j}v^{k-j}\Delta v^{j} \\ &=& v^{2}+2v\Delta v+\Delta v^{2}+\ldots \end{eqnarray} Desde $\Delta v \approx 0$ podríamos escribirlo simplemente como $v^{2}+2v \Delta v$ .

Answer 3

En $v=v_0+\Delta v$ ,

$$p = c v^{-k} = c v_0^{-k} \left (1+\frac{\Delta v}{v_o} \right )^{-k} = c v_0^{-k} \left (1-k \frac{\Delta v}{v_o} + \frac{(-k) (-k -1)}{2!} \left (\frac{\Delta v}{v_o} \right )^2 + O \left (\frac{\Delta v}{v_o} \right )^3 \right )$$

Entonces, como aproximación cuadrática, tenemos

$$p \approx c v_0^{-k} - c k v_0^{-k-1} \Delta v + \frac12 c k (k+1) v_0^{-k-2} \left (\Delta v\right )^2 $$