Cada subgrupo finito de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es cíclico

Question

Mostrar que cada subgrupo finito de el cociente grupo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (en suma) es cíclico.

Nota: hay un problema relacionado con lo cual me resultó: "Vamos a $G$ ser un número finito de abelian grupo, a continuación, $G$ es no-cíclico iff $G$ tiene un subgrupo isomorfo a $C_p \times C_p$ para algunos prime $p$."

Desde $\mathbb{Q} /\mathbb{Z}$ es abelian, así que basado en el problema relacionado con esto es suficiente para mostrar que no tiene primaria abelian subgrupo del grupo. Traté de empezar a demostrar por contradicción: Vamos a $\mathbb{Z} <A<\mathbb{Q}$ tal que

$A$/$\mathbb{Z} \simeq C_p \oplus C_p$ para algunos el primer p, pero no puedo seguir adelante.

Answer 1

No en la dirección desee pero puede identificar $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ como un subgrupo de los números complejos: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} < \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1 \subset \mathbb C^\times$ y luego use que cada subgrupo finito multiplicativo de un campo es cíclico.

Answer 2

Siguiendo la caracterización de grupos cíclicos basta para mostrar que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ contiene sólo $p-1$ elementos de orden $p$ para cualquier determinado % primer $p$. Son fáciles de encontrar y es muy fácil mostrar que no puede haber ningún elemento más de esta orden.

Answer 3

Considerar el % de homomorfismo natural $\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$y levantar un conjunto de $\overline{q}_1,\ldots ,\overline{q}_r$ de generadores del subgrupo finito $\overline{G}$ bajo consideración para $\mathbb{Q}$. El grupo $\overline{G}$ entonces es la imagen de $G:=\mathbb{Z}q_1 +\ldots \mathbb{Z}q_r$, donde $q_i$ es la preimagen de $\overline{q}_i$. El $\mathbb{Z}$-módulo $G$ es libre de rango $1$ - uno sólo necesita la existencia de gcd en $\mathbb{Z}$ a ver esto. Así $G$ y por lo tanto $\overline{G}$ cíclica.