Los cuaterniones no son isomorfos en anillo a matrices reales de 2x2

Question

Pido disculpas si esto es un duplicado, pero no he encontrado respuestas adecuadas en los foros.

Es fácil demostrar que los cuaterniones y los $M_2(\mathbb R)$ son isomorfos como espacios vectoriales sobre los reales, pero necesito demostrar que no son isomorfos en anillo.

Pensé que tal vez asumir algunos $\varphi$ es un homomorfismo de anillo y obtenemos una contradicción, similar a una prueba típica que muestra que $2\mathbb Z$ no es isomorfo a $3\mathbb Z$ por ejemplo. Pero aquí me parece más difícil conseguir un ejemplo contradictorio y quizá no sea el enfoque adecuado.

¿Podrían ser útiles aquí los teoremas de isomorfismo? ¿O cómo se puede demostrar lo contrario? Gracias.

Answer 1

Bueno, los cuaterniones de Hamilton es un anillo de división mientras que $\;M_2(\Bbb R)\;$ tiene muchos divisores cero...

Answer 2

Nada compite realmente con la razón que dio DonAntonio, pero he aquí algunas menciones honoríficas relacionadas:

1. $M_2(\mathbb R)$ tiene ideales derechos no triviales y $\mathbb H$ no lo hace.
2. $M_2(\mathbb R)$ tiene idempotentes no triviales y $\mathbb H$ no lo hace.
3. Un simple derecho $M_2(\mathbb R)$ tiene dimensión $2$ en $\mathbb R$ sino un simple derecho $ \mathbb H$ tiene dimensión $4$ en $\mathbb R$ .
4. $M_2(\mathbb R)$ tiene elementos nilpotentes no triviales y $\mathbb H$ no lo hace.