Por ejemplo, Wikipedia afirma que la cohomología etale fue "introducida por Grothendieck para demostrar las conjeturas de Weil". ¿Por qué las cohomologías y otras ideas topológicas son tan útiles para entender las cuestiones aritméticas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
¿Por qué son tan importantes las ideas topológicas en aritmética? En cierto sentido, KConrad tiene razón, pero permítanme ofrecerles una respuesta completamente distinta.
¿Por qué las funciones complejas de una variable son tan importantes en aritmética? (Función Zeta, funciones L, hipótesis de Riemann, Birch--Swinnerton-Dyer, formas modulares, series theta, series de Eisenstein...).
¿Por qué es tan importante la geometría en la aritmética? (Teorema de Faltings, aplicaciones de la geometría algebraica, aritmética de variedades de baja dimensión (curvas elípticas, etc.))
¿Por qué es tan importante la teoría K en aritmética? (Bloch-Kato, Voevodsky...)
¿Por qué es tan importante la lógica en aritmética? (Julia Robinson, Matiyasevich, Ax-Kochen y luego Hrusovski demuestran que "si es cierto en char p para p suficientemente grande entonces es cierto en char 0" en el contexto de algunos enunciados muy profundos).
¿Por qué es tan importante el análisis funcional en aritmética? (Funciones L^2 sobre $\Gamma\backslash G$ con $G$ un grupo de Lie semisimple que está relacionado con las formas automórficas y, por tanto, con la teoría de números a través de Langlands, con herramientas analíticas cruciales como la fórmula de la traza).
¿Por qué son tan importantes los sistemas dinámicos en aritmética? (problema 3x+1, trabajo de Deninger, o de Lind/Ward y su escuela).
La respuesta es la siguiente: se debe a que la aritmética es un tema muy maduro, que existe desde hace miles de años y, como existe desde hace tanto tiempo, hay muchas más posibilidades de que alguien descubra algo que relacione [inserte aquí un área arbitraria de las matemáticas puras] con la aritmética. Así que, en cierto sentido, es una casualidad histórica. Si todos hubiéramos nacido con los dedos en forma de muchos continuos que sólo pudiéramos mover de forma analítica real, y no hubiéramos descubierto los números enteros positivos hasta mucho más tarde, entonces la aritmética sería nueva y estaríamos esperando a Gauss, y el análisis real sería tan antiguo como las colinas, y la gente se preguntaría "¿por qué [inserte algo arbitrario] es tan importante en el análisis real?
[P.D. (1) Sí, lo sé, estaba bromeando al final, y (2) Sí, lo sé, mi lista del principio está lamentablemente incompleta].
Shuft
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420
¿Puedo sugerir que no tenemos que considerar la cohomología para ver la influencia de la topología en la aritmética? La búsqueda de puntos racionales en las curvas nos lleva a la pregunta pregunta de qué curvas tienen parametrización racional, y Riemann encontró que la respuesta es topológica: las curvas de género cero. También se observa comportamiento especial en curvas de género 1 (curvas elípticas), etc.
Jim Ford
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514
Si pensamos en las ecuaciones diofantinas en general, la situación es "desesperada". Es un teorema. Sin embargo, en teoría de números queremos estudiar tales ecuaciones, al menos en casos especiales, por lo que se requieren algunas ideas para clasificar el "espacio de ecuaciones diofantinas" (DES) en partes que podríamos llegar a comprender y partes que debemos dejar tranquilas.
Clásicamente se hacía por "grado de una ecuación". Esto te lleva hasta cierto punto, pero no lo suficientemente lejos, como ya muestra el género. También puede haber ecuaciones simultáneas, por ejemplo, y entonces entran en juego todos los conocimientos de la geometría algebraica. El eslogan de la "geometría diofántica", según el cual la geometría de un conjunto de ecuaciones afecta a las propiedades diofánticas, tiene ya mucha credibilidad. La parte de DES en la que se entiende bien la geometría parece corresponder bastante bien a la parte fructífera de estudiar con los métodos actuales. (Para los expertos, aquí me estoy deslizando de los puntos enteros a los racionales).
"Métodos topológicos de geometría algebraica" explica lo que ocurrió en los años 50 y 60 en esa materia. A partir de los años setenta, y realmente con mucho más dolor, se han utilizado métodos afines en geometría diofantina. Los que trabajan en teoría de números siempre han agradecido cualquier método general que puedan conseguir con tracción en DES.
Rog
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121
Nuevo conferencias de Atiyah sobre cuestiones de geometría inspiradas en la física mencionan algunas conexiones fascinantes con la teoría de números, por ejemplo, la cuestión sobre un "análogo cuántico de las conjeturas de Weil" y una "versión dimensional infinita" de las mismas.
