Puntos de una esfera

Question

Me pregunto si alguno de ustedes sabe dónde apareció por primera vez la siguiente perla de la topología:

Demostrar que en cualquier instante de tiempo se pueden encontrar tres puntos isotermos en la superficie de la Tierra que corresponden a los vértices de un triángulo equilátero.

Según Léo Sauvé todos los problemas aparecieron una vez en el Mensualmente . ¿Eso dictum ¿se aplica también al teaser anterior?

Answer 1

Permítanme extenderme un poco sobre las referencias que Charlie Frohman enumeró (así que esto no es realmente una respuesta separada, pero es demasiado largo para un comentario).

El teorema de los triángulos equiláteros se debe a S. Kakutani (Anales de 1942). Lo formuló sólo para triángulos formados por bases ortonormales de $\mathbb R^3$ pero el argumento es válido para todos los tamaños de triángulos equiláteros. Dedujo el interesante corolario de que cualquier conjunto convexo compacto en $\mathbb R^3$ tiene un cubo circunscriptor, respondiendo a una pregunta planteada por Rademacher. La prueba de Charlie Frohman es similar en espíritu a la de Kakutani.

La generalización n-dimensional del teorema de Kakutani (y corolario) se debe a H. Yamabe y Z. Yujobo (1950 Osaka Math J).

Volviendo a las 3 dimensiones, el resultado correspondiente para 4 puntos en los vértices de un cuadrado inscrito en un gran círculo fue demostrado por F. Dyson (Anales de 1951), y G.R. Livesay lo generalizó a rectángulos inscritos en un gran círculo (Anales de 1954). El caso de triángulos arbitrarios fue realizado por E.E. Floyd (1955 PAMS).

Es interesante que este pequeño tema haya dado lugar a tres artículos en los Annals, aunque cada uno de ellos era breve: sólo 3 páginas. (¿Cuándo fue el último artículo de 3 páginas de Annals?)

Las técnicas utilizadas para demostrar los teoremas posteriores variaron considerablemente. Podría ser interesante ver cuáles pueden demostrarse mediante argumentos básicos de topología algebraica, como en el teorema de Kakutani (¡que sin duda merece figurar en los manuales de topología algebraica!).