¿Por qué la diferenciación de $e^x$ es $e^x$?

Question

$$\frac{d}{dx} e^x=e^x$ $ Explique simplemente que yo no he estudiado el primer principio de la diferenciación aún, pero sé lo básico de diferenciación.

Answer 1

Echa un vistazo a la representación de la serie $e^x$ $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots$ $ que derivado de la toma de este da $$\left(e^x\right)'=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots\right)'$ $ $$=1'+x'+\left(\frac{x^2}{2}\right)'+\left(\frac{x^3}{6}\right)'+\left(\frac{x^4}{24}\right)'+\left(\frac{x^5}{120}\right)'+\dots$$ $$\implies (e^x)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n!}\right)'$$Then, término por término de diferenciación nos da #% $ $$(e^x)'=0+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots$ $ $$=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots$ $ $$=e^x$% la #% $

Answer 2

Alineación

Answer 3

Alineación

Answer 4

$$\frac{d}{dx}e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)=e^x\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^x\lim_{h\to 0}\frac{1+h-1+o(h)}{h}$$$$=e^x\lim_{h\to 0}\left(1+\underbrace{\frac{o(h)} {h}} _ {\to 0} \right) = e ^ x$ $

Answer 5

resolver la ecuación de $\frac{df}{dx}=f$ obtenemos $$\frac{df}{f}=dx$$ and we obtain $$\ln|f|=x+C$$ from here we get $$f(x)=e^{x+C}$$ with $ f (0) = 1$ we get $% $ $f(x)=e^x$