¿Cuál es el cono tangente del ortante no negativo?

Question

Definición:

$T_c(x)$ es el cono tangente de $C$ en el punto $x \in C$

$T_c(x) = closure\{z \in \mathbb{R}^n, z = k(y - x), \forall \thinspace y \in C, k \geq 0 \}$

Y $T_c(x)$ es un cono convexo cerrado

Consideremos el ortante no negativo denotado como $C$ el ortante no negativo es obviamente un cono convexo cerrado.

Considere $x = [1,1]$

A continuación, tomar los vectores límite, restando, da como resultado $[1,0] - [1,1] = [0,-1]$ y $[0,1]-[1,1] = [-1,0]$

A continuación, tome cualquier otro vector como $[0.5, 1]$ o $[1, 0.6]$ restando $[1,1]$ , obtengo

Un conjunto que obviamente no es convexo

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo debo construir el cono tangente del ortante no negativo y qué aspecto tiene?

Answer 1

Tienes que calcular la diferencia $y - x$ para todos $y \in C$ .

En particular, puesto que $x$ pertenece al interior de $C$ se obtiene $T_C(x) = \mathbb{R}^2$ .

Answer 2

Se sabe que (véase aquí por ejemplo) si $X$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $C$ es un subconjunto convexo de $X$ entonces $T_C(x) = X$ para cualquier $x \in C^\circ$ . Así que en su caso particular $T_C(x) = X = \mathbb{R}^2$ .