¿Cómo se llama este algoritmo de integración numérica?

Question

Supongamos que estimo $\int_0^1 f(x)dx$ como $\frac12(f(a)+f(b))$ con $a,\,b$ elegido para lograr el error de orden más bajo posible. Suponemos que $f$ es igual a su serie Maclaurin y $\int$ conmuta con $\sum$ a saber $$\int_0^1f(x)dx=\sum_{n\ge0}\frac{f^{(n)}(0)}{(n+1)!},\,\frac12(f(a)+f(b))=\sum_{n\ge0}\frac{f^{(n)}(0)(a^n+b^n)}{2\cdot n!}.$$ Por tanto, queremos el mayor número posible de pequeños $n$ como sea posible para satisfacer $$a^n+b^n=\frac{2}{n+1}.$$ El caso $n=0$ es trivial; el caso $n=1$ es $a+b=1$ que esperábamos; el caso $n=2$ es $a^2+b^2=\frac23$ y ahora podemos mostrar $a,\,b$ debe ser $\frac12\pm\frac{1}{\sqrt{12}}$ . Bellamente, el caso $n=3$ ahora también es correcto, porque $$a^3+b^3=\tfrac12(a+b)(3(a^2+b^2)-(a+b)^2)=\frac12\cdot 1\cdot(3\cdot\tfrac23-1^2)=\frac12,$$ que es lo que necesitábamos. Por desgracia, eso es lo más lejos que funciona, ya que $$a,\,b=\frac12\pm\frac{1}{\sqrt{12}}\implies ab=\frac13\implies a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=\frac49-\frac29=\frac29\ne\frac25.$$ Pero el éxito hasta $n=3$ es un gran problema, ya que cualquier otro $a,\,b$ fracasar al menos dos legislaturas antes. En concreto, esto nos permite ganar $O(h^2)$ factor en el término de error cuando cortamos una integral en $N\gg1$ tiras de anchura $h\propto 1/N$ .

Nada de esto es original para mí. Lo he visto antes, pero no puedo recordar que el uso de estos valores de $a,\,b$ se llama. He comprobado varios algoritmos con artículos de Wikipedia, pero ninguno es este.

Answer 1

Esa es la Cuadratura de Gauss-Legendre método: Para $n > 0$ puntos de interpolación $x_1, \ldots, x_n$ y pesos $w_1, \ldots, w_n$ se determinan de forma que $$ \int_{-1}^1 f(x) \, dx = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) $$ es válida para todos los polinomios de grado $\le 2n-1$ . En $x_i$ son ceros de la $n^{\text{th}}$ Polinomio de Legendre $P_n$ y las ponderaciones son $$ w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}} \, . $$ Para $n=2$ esto da $$ \int_{-1}^1 f(x) \, dx \approx f(-\frac{1}{\sqrt 3}) + f(\frac{1}{\sqrt 3}) $$ que es exacta para polinomios hasta el grado $3$ .

Transformación del intervalo $[-1, 1]$ a $[0, 1]$ da su fórmula $$ \int_0^1 f(x) \, dx \approx \frac 12 \left( f(\frac12-\frac{1}{\sqrt{12}}) + f(\frac12+\frac{1}{\sqrt{12}}) \right) \, . $$