expansión decimal de un número entero

Question

¿Puede alguien ser tan amable de explicarme qué se entiende por expansión decimal de un número entero? He visto lo siguiente en este enlace pero no sé a qué se refiere la expansión decimal de un entero: https://madhavamathcompetition.com/2017/01/23/the-pigeon-hole-principle-some-notes-and-examples/ Ejemplo 4:

Demuestre que para cada número entero $n$ hay un múltiplo de $n$ que sólo tiene $0$ y $1$ en su expansión decimal.

Solución 4:

Sea $n$ sea un número entero positivo. Considere la $n+1$ números enteros $1, 11, 111, \ldots, 11\ldots 1$ (donde el último entero de esta lista es el entero con $n+1$ $1$ en su expansión decimal). Tenga en cuenta que hay $n$ posibles restos al dividir un número entero por $n$ . Porque hay $n+1$ enteros en esta lista, por el principio del casillero, debe haber dos con el mismo resto cuando se dividen por $n$ . El mayor de estos enteros menos el menor es múltiplo de $n$ que tiene una expansión decimal formada enteramente por $0$ y $1$ 's.

Quizás estoy malinterpretando el uso de la palabra múltiple. Pensaba que se refería a un múltiplo entero.

Answer 1

Quizás ayude hacer un ejemplo sencillo. Tomemos $n=6$ . Tenemos:

$1=6\times 0+1$

$11=6\times 1+5$

$111=6\times 18 +3$

$1111=6\times 185 + 1$

$11111=6\times 1851+5$

$111111=6\times 18518 +3$

$1111111=6\times 185185 +1$

Aquí hay siete números y sólo seis restos posibles, por lo que dos de los restos deben ser iguales. Elegimos los dos más bajos y tomamos su diferencia:

$1111-1=1110=185\times 6$

y tenemos un múltiplo entero de $6$ que consiste (en notación decimal) en una cadena de $0$ s y $1$ s.

La prueba funciona con cadenas de $1$ s para obtener los restos y luego toma una cadena de otra, lo que deja algunos ceros al final. Quizá quieras pensar cuántos ceros esperas (tiene que ver con cómo los factores $2$ y $5$ aparecen en $n$ ).