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Construcción directa de los números enteros

Pregunta. ¿Existe una construcción directa de los números enteros que no implique tomar ningún cociente?

Por supuesto, soy consciente de la construcción habitual . También soy consciente de la agradable caracterización axiomática de los números enteros.

Lo que más me interesa es directo construcción. Estoy seguro de que probablemente se podría utilizar una unión disjunta de $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^{+}$ construir $\mathbb{Z}$ . Pero esto implica 2 construcciones intermedias (además de tratar con casos).

Edita. Por "construcción directa", me refiero a algo como la construcción Peano para $\mathbb{N}$ visto como el tipo inductivo construido a partir de $0$ y $\mathit{succ}$ . Entonces también se construyen las operaciones de suma, multiplicación, etc. Otra forma de verlo: supongamos que queremos tener un tipo de datos de "enteros" en un cálculo lambda que sólo permite construcciones inductivas y no cocientes, ¿cómo lo haríamos?

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stighy Puntos 405

¿No basta con modificar la construcción de Peano? Una idea (que es diferente de la onw enlazada por Iii) podría ser la siguiente: La construcción de Peano hace uso de una función $succ(n)$ que verifican las propiedades clásicas:

  1. No hay $n$ tal que $0=succ(n)$
  2. $succ(n)=succ(m)$ implica $n=m$
  3. Si $0\in A$ y $succ(n)\in A$ para todos $n\in A$ entonces $A=\mathbb N$

Tal vez sea posible caracterizar $\mathbb Z$ haciendo uso de dos funciones (diferentes), $prec(\cdot)$ y $succ(\cdot)$ relacionado por $prec(succ(n))=succ(prec(n))=n$ . Por supuesto, ahora la primera propiedad no puede ser cierta, la segunda propiedad anterior tiene que ser requerida para ambas $prec$ y $succ$ y, por último, la tercera propiedad debe sustituirse por la siguiente

Inducción en $\mathbb Z$ : Si $A\subseteq Z$ contiene al menos un elemento y, además, para cualquier $a\in A$ se tiene $prec(a),succ(a)\in A$ entonces $A=\mathbb Z$ .

Debería funcionar.

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Leo Alonso Puntos 3265

Yo diría: el grupo libre sobre un elemento. Supongo que puedes traducir esto en una serie de axiomas de primer orden. Fíjate que la multiplicación viene gratis como composición entre automorfismos del grupo consigo mismo.

Anexo : Impulsado por el comentario de más abajo, no estoy pensando en los habituales descripción del grupo libre a través de una cadena de $1$ y $-1$ 's pero en el propiedad universal .

Permítanme dar algunos detalles. Un grupo es una tupla $(G,m,e,i)$ con $G$ un conjunto, $m \colon G \times G \to G$ un mapa $e \in G$ y $i \colon G \to G$ que satisfacen ciertas conmutatividades que equivalen a las propiedades definitorias de grupo (asociatividad, $e$ es el elemento neutro y $i(g)$ es la inversa del elemento $g \in G$ ). Un grupo libre en un elemento es una tupla tal $(F, \dot , 1, op)$ que satisface que para cualquier elección de a $g \in G$ de un grupo $(G,m,e,i)$ existe uno y sólo un homomorfismo $(F, \dot , 1, op) \to (G,m,e,i)$ tomando $1$ a $g$ . Propongo traducir esta descripción en una serie de fórmulas de primer orden, esa fue mi sugerencia.

Anexo 2 : Acabo de darme cuenta de que así la descripción es de segundo orden.

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Russ Warren Puntos 1184

Proporcioné una axiomatización directa de los números enteros, por ejemplo, bajo la pregunta MO Definición axiomática... por @Victor Makarov, en el post Parte 2: Ciclandos y números enteros . Esta axiomatización no hace referencia directa a los números naturales ni a ningún orden lineal.

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Poor Soul Puntos 11

Definimos un [lenguaje formal][1] de la siguiente manera:

La lengua libre $\mathcal J$ de todas las cadenas $J$ (palabras) en

alfabeto : $R, L$

incluida la cadena vacía, [].

Este lenguaje viene equipado de forma natural con la operación de concatenación,

$\tag 1 +: (J,J^{'}) \mapsto JJ^{'}$ .

Una cadena $M \text{ in } \mathcal J$ se dice que es directa (o pura) si no contiene las dos letras $R$ y $L$ .

Las cuerdas $RL$ y $LR$ en $\mathcal J$ se denominan pasos vis-à-vis.

Si se inserta un paso vis-à-vis en cualquier lugar de una cadena $J$ se dice que la nueva cadena de salida es una expansión de $J$ .

Si se puede eliminar un paso vis-à-vis de una cadena $J$ se dice que la nueva cadena de salida es una contracción de $J$ .

Cualquier cadena puede contraerse a una cadena directa y puede obtenerse a su vez expandiendo esa misma cadena directa. Dos cadenas $J$ y $J^{'}$ son homoJnicos si $J$ puede transformarse en $J^{'}$ mediante expansiones y contracciones. En este caso podemos escribir $J == J^{'}$ .

Si $J_\alpha == J_\beta$ y ${J_\alpha}^{'} == {J_\beta}^{'}$ entonces $J_\alpha {J_\alpha}^{'} == J_\beta {J_\beta}^{'}$ .

Suma de números enteros $\mathbb Z$ puede definirse, por tanto, como una concatenación invariante bajo transformaciones homoJnicas, representándose cada clase por una cadena directa en $\mathcal J$ .

Ejemplo: Suma de dos directas $RRRRR + LL = RRRRRLL == RRRRL == RRR$

Ejemplo: Desde $RRRRR == RRLRRRR$ y $LL == RLLL$ tenemos
$\qquad RRLRRRR + RLLL = RRLRRRRRLLL == RRR$

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