Construcción directa de los números enteros

Question

Pregunta. ¿Existe una construcción directa de los números enteros que no implique tomar ningún cociente?

Por supuesto, soy consciente de la construcción habitual . También soy consciente de la agradable caracterización axiomática de los números enteros.

Lo que más me interesa es directo construcción. Estoy seguro de que probablemente se podría utilizar una unión disjunta de $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^{+}$ construir $\mathbb{Z}$ . Pero esto implica 2 construcciones intermedias (además de tratar con casos).

Edita. Por "construcción directa", me refiero a algo como la construcción Peano para $\mathbb{N}$ visto como el tipo inductivo construido a partir de $0$ y $\mathit{succ}$ . Entonces también se construyen las operaciones de suma, multiplicación, etc. Otra forma de verlo: supongamos que queremos tener un tipo de datos de "enteros" en un cálculo lambda que sólo permite construcciones inductivas y no cocientes, ¿cómo lo haríamos?

Answer 1

Informalmente hablando, tomar el límite de complemento a dos como el número de bits va a $\infty$ , los números enteros no son más que las secuencias binarias eventualmente constantes (que se representan naturalmente por secuencias binarias finitas). Para que esto funcione, dichas secuencias deben empezar por el bit menos significativo, es decir, $1001011\overline{0}$ se interpreta como $2^0+2^3+2^5+2^6$ y $1001010\overline{1}$ se interpreta como $2^0+2^3+2^5-2^7$ . La aritmética y el orden de estas cadenas es natural (y eficiente para los microprocesadores cuando restringimos de $\mathbb{Z}$ digamos, $\{-2^{63},\ldots,2^{63}-1\}$ ).

Lo anterior puede reinterpretarse como la siguiente construcción menos directa. Si $R$ es el límite inverso de los anillos $\lim_{\infty\leftarrow n}\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ entonces el mapa diagonal $\Delta\colon\mathbb{Z}\rightarrow R$ dado por $m\mapsto \lim_{\infty\leftarrow n}(m\mod 2^n)$ es un homomorfismo inyectivo de anillo. [Editar: La imagen se caracteriza como el conjunto de $\vec x\in R$ para el que el valor de verdad de $x(n+1)=x(n)$ es finalmente constante]. Además, la ordenación de $\mathbb{Z}$ se codifica a través de $m\geq 0\Leftrightarrow(m\mod 2^n: n\in\mathbb{N})$ es finalmente constante.

Actualización: No pude resistir la tentación de escribir un aplicación de la programación funcional .

Answer 2

Puedes probar representaciones en base -2 también llamadas cadenas negabinarias. Se trata de cadenas finitas extraídas del alfabeto $\{ 0, 1\}$ empezando por 1 (excepto cuando es cero o está vacío, según la convención que elija), donde ponderamos los lugares por potencias de $-2$ . Tienes representaciones únicas y operaciones aritméticas razonablemente sencillas.

Answer 3

Hay un artículo de Fressola y Krone aquí Construcción de números enteros por inducción que parece hacer lo que quieres conseguir.

Answer 4

El grupo $\mathbf{Z}$ es el grupo de diferencias del monoide $\mathbf{N}$ y el anillo $\mathbf{Z}$ es el anillo de endomorfismos del grupo (conmutativo) $\mathbf{Z}$ .

Answer 5

(era un comentario, ahora una respuesta)...

Cadenas de símbolos de un alfabeto de tres letras (que representan los dígitos 0, 1, -1; se consideran expansiones de base 3). Todos los dígitos, salvo un número finito, deben ser cero. Definir las operaciones esencialmente como en primaria. ¿Es eso lo que quieres para "directo"? Tomé ternario equilibrado, ya que no quieres empezar con enteros positivos...