Definición de variable, símbolo, indeterminado y parámetro

Question

¿Existen definiciones precisas de lo que es una variable, un símbolo, un nombre, una indeterminación, una metavariable y un parámetro?

En las matemáticas informales, se utilizan de diversas maneras, y a menudo de forma incompatible. Sin embargo, al leer a matemáticos muy precisos, se tiene la sensación de que muchos de estos términos tienen una semántica sutilmente diferente.

Por ejemplo, una "indeterminada" es casi siempre una "ficticia" en el sentido de que el significado de una frase en la que aparece no cambia en absoluto si esa indeterminada se sustituye por un nuevo "nombre" ( $\alpha$ -equivalencia). Un parámetro suele representar un valor arbitrario (pero fijo) de un "dominio" concreto; en la práctica, es frecuente realizar análisis de casos sobre parámetros al resolver un problema paramétrico. Y mientras que un parámetro representa un valor, un "indeterminado" normalmente no representa nada, a diferencia de una variable, que normalmente es un marcador de posición para un valor. Sin embargo, las variables y los parámetros son cualitativamente diferentes.

Los 2 párrafos anteriores pretenden precisar la intención de mi pregunta (la primera frase de este post). Busco respuestas del tipo "una X indica una Y".

Answer 1

En el inglés escrito (y, por supuesto, en otros idiomas), tenemos construcciones lingüísticas que indican al lector cómo acercarse a las ideas que se van a presentar. Por ejemplo, si empiezo una frase con "Sin embargo, . . .", el lector espera una advertencia sobre una proposición previamente expuesta, pero si empiezo la frase con "De hecho, . . . ", el lector espera pruebas que respalden una postura. Por supuesto, podríamos prescindir por completo de este tipo de lenguaje y se comunicarían las mismas ideas, pero con un esfuerzo mucho mayor. Considero las palabras "variable", "constante", "parámetro", etc., del mismo modo que considero "sin embargo", "de hecho" y "por supuesto"; estas palabras me informan sobre posibles formas de ver los objetos que estoy aprendiendo. Por ejemplo, cuando leo que " $x$ es una variable", considero $x$ como capaz de entrar en movimiento; puede flotar sobre el conjunto en el que está definido. Pero si $c$ es un elemento del mismo conjunto, lo considero clavado; "para cada uno" es el cuantificador apropiado para la letra $c$ . Y cuando (diga) $\xi$ es un parámetro, entonces me imagino un conjunto incontable de objetos generados por $\xi$ pero $\xi$ sí mismo no puede se ponen en movimiento. Por último, cuando se hace referencia a un objeto como símbolo, considero que su estatus ontológico es el siguiente en duda hasta que se aporten más pruebas. Como por ejemplo: "Que el símbolo ' $Lv$ ' denotan el límite de la secuencia $\lbrace L_{n}v \rbrace_{n=1}^{\infty}$ para cada $v \in V$ . Con esta definición, podemos considerar $L$ como función definida en $V$ . . . "

En resumen, considero que construir definiciones matemáticas precisas para estos términos equivale a conseguir que todo el mundo tenga las mismas visiones mentales de los objetos abstractos.

Answer 2

En cuanto al estado de las variables, probablemente quieras consultar la tesis doctoral de Chung-Kil Hur "Sistemas categóricos ecuacionales: modelos algebraicos y razonamiento ecuacional" . A grandes rasgos, extiende la noción de formal (como en los polinomios formales) a las firmas con estructura vinculante y ecuaciones. Fue alumno de Fiore, y creo que han estado interesados en dar mejores modelos (inspirados en el enfoque de los conjuntos nominales) a cosas como la sintaxis abstracta de orden superior. Llevo tiempo queriendo leer su tesis, para ver si su tratamiento de las variables puede sugerir técnicas que puedan usarse para escribir procedimientos de decisión reflexivos que funcionen sobre fórmulas con cuantificadores.

En cuanto a las variables esquemáticas o metavariables, existe un tratamiento formal de las mismas en el artículo de MJ Gabbay (excelentemente titulado) "Lógica de orden uno y medio"

Answer 3

Pregunta intrigante...

Si existen definiciones, por lo que yo sé son bastante tácitas. Tal vez alguien las haya codificado en alguna parte, pero supongo que no, así que voy a hacer algunas conjeturas y publicar esta respuesta en la wiki de la comunidad en un intento de llegar a algún tipo de consenso:

Puedo dar fe (con bastante seguridad) de que

Variable: El argumento de una función (a veces una función de verdad :))

Indeterminado: Variable ficticia utilizada para demostrar afirmaciones con cuantificadores universales

Parámetro: Variable numérica que determina un objeto

Tomaría conjeturas en:

Símbolo: Una función o funcional (es decir, más complejo que un simple objeto) que es una variable

Nombre: El argumento de una función de verdad

Y tengo ni idea más o menos:

Metavariable: ?

Answer 4

De los diversos tipos de "marcador de posición", ciertamente un par tienen significados matemáticos definidos. En lógica, el significado de las variables libres y ligadas está detallado. Y considero que "indeterminado" es un término que se utiliza con un significado preciso en álgebra; en los anillos polinómicos, por ejemplo, las indeterminadas no son exactamente variables independientes en el sentido convencional de la notación funcional.

Answer 5

Me parece que esta tesis doctoral puede contener respuestas que me satisfagan. La discusión de la página 52 es especialmente atractiva, pero toda la tesis está plagada de pasajes similares en los que se discuten términos matemáticos que con frecuencia quedan (formalmente) sin definir en la literatura matemática.

Advertencia: muchas de las personas que escriben aquí probablemente calificarían esta tesis de parte filosofía matemática y parte informática y encontrar poco matemáticas modernas en él. Pero bueno, como parece que los matemáticos están intentando retomar la teoría de tipos para sí mismos, quizá este tipo de trabajo también vuelva a estar de moda.