$S∘T=0$ si y sólo si Im $T \subset$ ker $S$

Question

Sea $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ y $S:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l$ sean mapas lineales. Tengo que demostrarlo:

$ST=0$ si y sólo si Im $T \subset$ ker $S$

¿Puede alguien explicarme esto? La verdad es que no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

$$S\circ T=0\iff \forall\,v\in\Bbb R^n\;,\;\;S\circ T(v):=S(Tv)=0\iff $$

$$\iff Tv\in\ker S\;\;\forall\,v\in\Bbb R^n\iff \text{Im}\,(T)\le\ker S$$

Answer 2

Yo empezaría por hacer un dibujo. Representar el $\mathbb{R}^i$ por "manchas".

Ahora

$$\mathbb{R}^n\overset{T}{\longrightarrow}\mathbb{R}^m\overset{S}\longrightarrow \mathbb{R}^\ell.$$

Ahora bien $\text{im }T\subset\ker S$ entonces todas las cosas que se mapean en $\mathbb{R}^m$ por $T$ están en el núcleo de $S$ y por lo tanto será "asesinado" por $S$ por lo que tenemos $S\circ T=0$ .

Por otro lado, si $S\circ T=0$ la composición de $T$ y $S$ "mata" todo. En particular todo lo que $T$ envía a $\mathbb{R}^m$ también conocido como $\text{im }T$ es "asesinado" por $S$ por lo que está en el núcleo de $S$ .

Esta es la por qué ? Las demás respuestas espero que las contesten con voz amable y técnica. ¿Sabes lo que quiero decir con 'matar'?

Answer 3

Por definición, $\operatorname{Ker}(S)=\{w\in\mathbb R^m~:~ S(m)=0\}$ y $\operatorname{Im}(T)=\{w\in\mathbb R^m~:~ \exists n\in\mathbb R^n~:~ T(n)=w\}$ .

Entonces $S\circ T=0\Leftrightarrow \forall v\in\mathbb R^n~ S(T(v))=0\Leftrightarrow \forall v\in\mathbb R^n~~ T(v)\in\operatorname{Ker}(S)\;$ . ¿Puedes terminar la prueba?

Answer 4

Pista: $\Leftarrow$ es trivial, ¿no? Para la otra dirección; dejemos $v\in\mathrm{Im}(T)$ por lo que hay un vector $w$ s.t. $Tw=v$ .