La conjetura de que $\pi(x+y) \leq \pi(x) + \pi(y)$ con $\pi$ la función de recuento para los números primos, se atribuye habitualmente a Hardy y Littlewood en su artículo de 1923, tercero de la serie Partitio Numerorum sobre la teoría aditiva de números y el método del círculo. Por ejemplo, el libro de Richard Guy Problemas sin resolver en Teoría de Números cita el artículo y califica la desigualdad de "conjetura bien conocida ... debida a Hardy y Littlewood".
Partitio Numerorum III es uno de los artículos más leídos en teoría de números, en el que se detalla un método para escribir fórmulas asintóticas conjeturales (pero bien definidas) para la densidad de soluciones en problemas de teoría aditiva de números como Goldbach, primos gemelos, primos $k$ -tuplets, primos de la forma $x^2 + 1$ etc. Este formalismo en el caso de los primos $k$ -con la noción de constelaciones de primos admisibles y una fórmula asintótica para el número de tuplets, llegó a conocerse como la "conjetura de Hardy-Littlewood [k-tuplets primos]" y, de hecho, es una de las varias conjeturas explícitas del artículo.
Sin embargo, la cuestión de si $\pi(x+y) \leq \pi(x) + \pi(y)$ para todos $x$ y $y$ , en realidad no aparece en el documento Hardy-Littlewood. Ellos discuten la desigualdad sólo para finito fijo $x$ y para $y \to \infty$ que relaciona la densidad de empaquetamiento de primos en intervalos de longitud $x$ a la $k$ -conjetura de los topletes. (Hensley y Richards demostraron en 1973 que las afirmaciones de densidad lim-sup que consideran H & L eran incompatibles con la conjetura de los k-tuplos).
Las preguntas:
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¿Existen otras obras de Hardy o Littlewood en las que la desigualdad sobre $\pi(x+y)$ ¿se discute o se plantea como una conjetura?
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¿Dónde aparece la desigualdad por primera vez en la literatura como una conjetura?
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¿Existe algún documento que sugiera la desigualdad (para todo finito $x$ y $y$ y no la afirmación asintótica considerada por Hardy-Littlewood) es probablemente correcta?
