¿Cuál es el valor de $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (p-1)^2\pmod{p}$ ?
Probemos con varios primos mayores que 3...
Si $p=5$ entonces tenemos $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30$ de modo que $30\pmod{5} = 0$
Si $p=7$ entonces tenemos $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2= 91$ de modo que $91\pmod{7} = 0$
Si $p=11$ entonces tenemos $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2= 385$ de modo que $385\pmod{11} = 0$
Así que parece que siempre obtendremos 0. Así que para primos mayores que 3, tenemos la suma igual a un múltiplo de $p$ .
Sé que $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (p-1)^2 = \frac16p(p-1)(2p-1)$ Bueno, si $p>3$ entonces $p-1=2a$ para algún número entero $a$ de modo que $2p-1 = 4a +1$ . Entonces tenemos $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (p-1)^2 = \frac16p(p-1)(2p-1) = \frac16 p(2a)(4a+1)$$
Si pudiera demostrar que $(2a)(4a+1)$ es múltiplo de 6, habré terminado, pero tengo problemas para demostrarlo. Tal vez alguien podría proporcionar un consejo muy necesario, pero no lo descubras por mí, por favor.
