Dada una transformación ortogonal $T: \mathbb R^{n}\longrightarrow\mathbb R^{n}$ . También sabemos que la matriz de representación $A$ de $T$ es ortogonal si $A^TA =I$ o las columnas de A son una base ortogonal para $ \mathbb R^{n} $ . ¿Es A ortogonal sólo si es la matriz de T con respecto a alguna base ONB o cualquier base serviría en este caso?
Respuesta
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Peter Melech
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Si $T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ es ortogonal, entonces $(Tx,Tx)=(x,x)$ para todos $x\in \mathbb{R}^n$ . Si $A\in \mathbb{R}^{nxn}$ representa $T$ $\textbf{with respect to an orthonormal basis}$ esto se convierte en
$(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=x^Tx$
para todos $x\in\mathbb{R}^n$ . En particular
$(A^TA)_{ij}=e_i^TA^TAe_j=e_i^Te_j=\delta_{ij}$
donde $\{e_i\}$ son los vectores de base estándar. Es decir $A^TA=I$ .
No se tiene esta traducción a una ecuación matricial si no se trabaja con una base ortonormal aunque como simples contraejemplos muestran. Tomemos la base $\{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$ para $\mathbb{R}^2$ como sugiere Travis y considerar una rotación por $\frac{\pi}{2}$ que es definitivamente ortogonal pero su matriz con respecto a esta base es
$\begin{pmatrix}0&-\frac{1}{2}\\2&0\end{pmatrix}$ y esto obviamente no es ortogonal.
