Raíces de la función gamma incompleta

Question

¿Hay alguna manera que uno puede describir analíticamente todas las raíces de la función gamma incompleta $\Gamma(n,z)$, $n\in \mathbb{N}$?

Answer 1

(Se suponía que esto iba a ser otro comentario a Raymond de la respuesta, pero lo tengo muy largo).

Como ya se ha mencionado por Raymond, tenemos la relación (utilizando ligeramente diferente notación)

$$\Gamma(n,z)= (n-1)! \exp(-z) e_{n-1}(z)$$

donde

$$e_n(z)=\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}$$

las sumas parciales de la serie de Maclaurin para $\exp(z)$, es a veces llamada la exponencial de la función suma. A pesar de que un general de la forma cerrada para las raíces de $e_n(z)$ no se conoce la distribución de las raíces del polinomio $e_n(nz)$ en el plano complejo está muy bien estudiado:

En particular, Gábor Szegő (1924) y Jean Dieudonné (1935) mostraron que las raíces de la escalada exponencial de la función sum $e_n(nz)$ enfoque de la porción de la curva $|z\exp(1-z)|=1$ (ahora se refiere a menudo como el Szegő curva) dentro de la unidad de disco como $n\to\infty$. En dos papeles, Carpintero, Varga, y Waldvogel estudio de la asymptotics de los ceros de $e_n(nz)$. Otros documentos de interés incluyen aquellas por Buckholtz, Newman y Rivlin (con corrección), Conrey y Ghosh, Pritsker y Varga, Walker, y Zemyan. (Estos son los que he leído; estoy seguro de que hay otras buenas papeles que me he perdido.)

Answer 2

Con la habitual definición tenemos : $$\Gamma(n,x)=\int_x^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt$$

Después de que el uso repetido de integración por partes se puede obtener esta fórmula: $$\Gamma(n,x)= (n-1)! e^{-x} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}$$ así que usted está pidiendo a los ceros de los polinomios : $$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}$$ Vamos a buscar en la primera de las soluciones :

$ \begin{array} {rcc} n & P_n(x) & \mathrm{zeros} \\ \hline \\ 1 & 1 & \emptyset \\ 2 & 1+x & \{-1\} \\ 3 & 1+x+\frac{x^2}{2!} & \{-1-i,-1+i\} \\ 4 & 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} & \{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}-\frac1{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}-1,..,.. \} \\ \end{array} $

Me voy a parar aquí porque las expresiones algebraicas de los ceros son cada vez más largo y complicado... (buscar a los demás con WolframAlpha)
O ¿la esperanza de algo más sencillo?