¿Qué es el $\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)\,dx$ ?

Question

Estoy bastante seguro de que hay un teorema que dice que los coeficientes de Fourier de una suma de $\cos(nx)$ y $\sin(nx)$ son los coeficientes de la propia suma.

Intenté demostrar que en el caso concreto de $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2}$ . Al calcular los coeficientes de Fourier llegué a calcular $\cos(nx)\cdot\cos(mx)$ pero ahora estoy atascado. Agradecería cualquier consejo.

Answer 1

Sea $m,n\ge 1$ . Utilice

$$\cos (m x) \cos (n x)=\frac{1}{2} (\cos (m x-n x)+\cos (m x+n x)).$$

Entonces, si $m\not=n$ obtenemos $0$ ya que $\int_{-\pi}^\pi \cos(kx)dx=\frac{2\sin(n\pi)}{n}=0$ para todos $k\in\mathbb{Z}, k\not=0$ . Para $m=n$ tenemos

$$\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)^2 dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi (1+\cos(2nx)) dx = \frac{1}{2} 2\pi+\underbrace{\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \cos(2nx) dx}_{=0}=\pi.$$

Esto es exactamente lo que esperábamos.

Answer 2

Pista: $$\cos mx\cos nx=\frac{\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)}{2}.$$

Fácilmente que da integral $0$ excepto cuando $m=n$ . El caso $m=n$ debe tratarse por separado.

Answer 3

$\displaystyle I_{m,n} = \int_{-\pi}^{\pi}\cos (mx)\cdot \cos (nx)dx = 2\int_{0}^{\pi}\cos (mx)\cdot \cos (nx)dx$

$\displaystyle = \int_{0}^{\pi}\cos \{(m+n)x\}dx+\int_{0}^{\pi}\cos \{(m-n)x\}dx $

$\displaystyle = \left[\frac{\sin \{(m+n)x\}}{(m+n)}\right]_{0}^{\pi}+\left[\frac{\sin \{(m-n)x\}}{(m-n)}\right]_{0}^{\pi} = 0$ Si $m,n\in \mathbb{Z}$ y $m\neq n$ y $m\neq -n$

Answer 4

Pista: Escribe cada uno de los cosenos en términos de exponenciales complejas y observa que el resultado es mucho más fácil de integrar que un producto de cosenos.

Answer 5

Vi un caso fascinante en el libro, así que lo copio aquí.

En realidad $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

Dónde $\int^\pi_{-\pi} e^{imx}e^{-inx} dx= \begin{cases} 0,if m\neq n\\ 2\pi , if m=n \end{cases} $ ,

Basta con sustituir el $\sin x, and \cos x$ con identidad compleja en la integración, hecho.