Demuestre que $\sum_{j=M}^{\infty}\left(\frac{M}{j}\right)^{a+n} \to 1$ como $n\to \infty$

Question

Supongamos que debe resolverse en condiciones de tiempo.

S $\sum_{j=M}^{\infty}\left(\frac{M}{j}\right)^{a+n} \to 1$ como $n \to \infty$ donde $M\geq 1$ i $a > 1$ es fijo (no necesariamente un número entero).

Tengo una solución a mi disposición, pero no soy un fan de ella - esencialmente, se descompone la suma en $1 + \sum_{j=M+1}^{\infty}(M/j)^{a+n}$ y luego hace un trabajo de desigualdades para demostrar que la suma resultante a partir de $j = M + 1$ es menor o igual que alguna constante que no depende de $n$ veces $\left(\dfrac{M}{M+1}\right)^n \to 0$ como $n \to \infty$ por lo que obtenemos $1^{-1} = 1$ como $n \to \infty$ . En resumen, no se me habría ocurrido hacerlo (sobre todo dividir la suma en dos partes).

¿Existe algún método mejor, más directo, que no implique complicarse con desigualdades? Tenga en cuenta que este fue un paso intermedio para una pregunta de un examen de calificación de estadística a nivel de posgrado, que cubre material al nivel del texto de Casella y Berger.

Answer 1

Pista: Dividirlo en dos partes es muy natural, ya que el primer término de la suma es $1.$ No estoy seguro de por qué tenemos $a+n.$ Yo simplemente escribiría la potencia como $p$ y que $p\to \infty.$ Usted está entonces tratando de mostrar

$$\sum_{j=M+1}^{\infty}\left (\frac{M}{j}\right)^p \to 0$$

como $p\to \infty.$ Puedo ver una comparación con una integral, o un enfoque de teorema de convergencia dominado a esto.