Es bien sabido que la teoría K topológica está bendecida con el teorema de periodicidad de Bott, que especifica un isomorfismo entre $K^2(X)$ y $K^0(X)$ (donde $K^n$ se define a partir de $K^0$ mediante suspensiones). Me pregunto si otras teorías de cohomología generalizada tienen sus propios teoremas de periodicidad, y si existe un marco general para conceptualizarlos. Me interesa cualquier respuesta sustantiva a esta pregunta, pero hay dos vías específicas de generalización por las que siento especial curiosidad.
La primera vía comienza con la aproximación del álgebra de Clifford a la periodicidad de Bott. Este enfoque relaciona la periodicidad en la teoría K con cierta periodicidad natural presente en la teoría de las álgebras de Clifford complejas, y generaliza la periodicidad óctuple de la teoría K real (correspondiente a una periodicidad óctuple en las álgebras de Clifford reales). ¿Se puede generalizar fructíferamente la noción de álgebra de Clifford, asociarle una teoría de cohomología generalizada y producir análogamente un teorema de periodicidad?
La segunda vía es la prueba de Cuntz de la periodicidad de Bott para las álgebras C* (que, en particular, implica la periodicidad topológica de Bott al especializarse en álgebras C* conmutativas). Cuntz demuestra la periodicidad de Bott para cualquier functor de la categoría de las C*-álgebras a la categoría de los grupos abelianos que sea estable (es decir, insensible al tensado con la C*-álgebra de operadores compactos en el espacio de Hilbert), semiexacto e invariante de homotopía. La prueba utiliza propiedades topológicas de las álgebras de Toeplitz de forma esencial. Debido a la generalidad de su planteamiento, me pregunto si las características esenciales de su argumento pueden trasladarse a contextos más generales.
Cualquier idea será bienvenida.
