Intuición tras la coordenada polar para hallar el límite en cálculo multivariante

Question

Hallar el límite utilizando la coordenada polar para la función en $(0,0)$ $$ f(x,y) = \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Empecé a usar $x = r\cos(\theta),\, y = r\sin(\theta)$

Entonces $(x,y) \to (0,0) \implies r \to 0$

Entonces obtenemos lo siguiente $$ f\bigl(r\cos(\theta),\, r\sin(\theta)\bigr) = \cos(\theta) + \sin(\theta) $$

Ahora no tengo ni idea de cómo proceder a partir de aquí. Algunas de las ideas de videos de youtube que tenía era: $\theta$ es una variable libre y el límite es más bien una espiral hacia $(0,0)$ .

¿Puede alguien explicarme por qué ocurre esto? ¿Cuál es la idea $r \to 0$ ?

Answer 1

Si desea utilizar coordenadas polares, entonces con $(x,y)\mapsto (r\cos\theta,r\sin\theta)$ para $r\in {\bf R}_{+}^{*}$ y $\theta\in [0,2\pi[$ entonces $$f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{\sqrt{r^{2}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}=\cos\theta+\sin\theta.$$

• Si $\theta=\pi$ entonces $f_1(\theta):=f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\cos\theta+\sin\theta=-1$ .

• Si $\theta=\pi/2$ entonces $f_2(\theta):=f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\cos\theta+\sin\theta=1$ .

Si $f$ tiene límite $\ell\in {\bf R}$ en $(0,0)$ entonces las funciones compuestas $f_1$ y $f_2$ tienen que tener el mismo límite $\ell$ en $0$ pero es imposible, como se muestra arriba. Por lo tanto, la $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ no existe.

Answer 2

El límite $\lim_\limits{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$

existe si $f$ evaluó cada punto en una vecindad pequeña del origen tiene está en una vecindad pequeña. Podemos ser más formales con $\epsilon-\delta$ bolas, pero esta idea es suficiente.

Si convertimos a coordenadas polares y luego elegimos un valor pequeño de $r,$ entonces todos los valores de $(r,\theta)$ estarán cerca el uno del otro. Si el límite existe, todos los valores de $f(r,\theta)$ estarán cerca el uno del otro independientemente de nuestra elección para $\theta.$

En este caso $f(r,\theta) = \cos\theta + \sin \theta$

$f(r,\theta)$ podría ser tan grande como $\sqrt {2}$ y tan pequeños como $-\sqrt{2}$ por pequeña que sea nuestra elección $r$ ser. Este no es un barrio pequeño.