núcleo de un homomorfismo

Question

Sea $G$ sea un grupo. Entonces $G$ actúa sobre sí misma por conjugación, lo que corresponde a un homomorfismo $K\colon G\to\operatorname{Aut}(G)$ . Demuestre que el núcleo de $K$ es $Z(G)$ .

$K: G\to \operatorname{Aut}(G)$

$G\times G\to G$ , $(g,x)\mapsto xgx^{1}$ .

$\ker(K)=Z(G)$ ? $\ker(K)=\{x\in G\mid K(x)=I_G\}$ . ¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

El mapa $K$ es identidad si y sólo si $xgx^{-1}=e$ donde $e$ es el elemento de identidad. Esto significa que $K$ es el mapa de identidad si y sólo si $xgx^{-1}=g$ para todos $g\in G.$ Por lo tanto $K$ es la identidad precisamente cuando $x$ conmuta con todos $g\in G$ es decir, $g\in Z(G).$

Answer 2

No es necesario restringirse a grupos finitos.

Un elemento $g$ está en $\ker K$ si la conjugación $x\mapsto gxg^{-1}$ es la identidad, es decir, sif $x=gxg^{-1}$ para todos $x\in G$ es decir, si $xg=gx$ para todos $x\in G$ es decir, si $g\in Z(G)$ .