Compute $(1+\alpha^4)(1+\alpha^3)(1+\alpha^2)(1+\alpha)$ donde $\alpha$ es la raíz compleja 5ª de la unidad con el argumento principal positivo más pequeño

Question

Acabo de empezar con el tema Números Complejos y hay una pregunta en la que estoy atascado.

La cuestión es:

Si $\alpha$ es una raíz compleja 5ª de la unidad con el menor principal positivo $\mathbf(1+\alpha^4)(1+\alpha^3)(1+\alpha^2)(1+\alpha)$

Por lo que tengo entendido, se supone que debo empezar con a^5=1 y que el menor argumento positivo debe ser 2/5 Para ser exactos, tengo las raíces $\mathbf{e^{\frac{2ki\pi}{5}}}$ en el que k está comprendido entre 0 y 4. Después de eso, no tengo ni idea de cómo proceder.

Answer 1

Pista: los cinco $5^{th}$ raíces de la unidad son $\,1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4\,$ . Además, si $\,\beta\,$ es una raíz de $\,z^5-1\,$ entonces $\,1+\beta\,$ es una raíz de $\,(z-1)^5-1\,$ y, por lo tanto $\,(1+1)(1+\alpha)(1+\alpha^2)(1+\alpha^3)(1+\alpha^4)\,$ es el producto de las cinco raíces de $\,(z-1)^5-1\,$ .

Answer 2

$$S=\mathbf(1+\alpha^4)(1+\alpha^3)(1+\alpha^2)(1+\alpha)$$ $$S(1-\alpha)=\mathbf(1+\alpha^4)(1+\alpha^3)(1+\alpha^2)(1+\alpha)(1-\alpha)$$ $$S(1-\alpha)=(1-\alpha^8)(1+\alpha^3)$$ $$S(1-\alpha)=(1-\alpha^3)(1+\alpha^3)$$ $$S(1-\alpha)=(1-\alpha^6)$$ $$S(1-\alpha)=(1-\alpha)$$ $$S=1$$

Answer 3

Después de todo, se podría pensar que hay algún truco detrás de esto. Y lo hay. Expandir los paréntesis no parece ser la solución.

La idea, es que el producto de muchos términos, es (veces $(-1)^{\mbox{deg}}$ )el término constante del polinomio mónico de grado más pequeño del que son raíces. Este es un ejemplo de la fórmula de Vieta.

Tenga en cuenta que si $x$ es cualquiera de $1 + \alpha^k$ , $1 \leq k \leq 5$ entonces $(x - 1)^5 = 1$ o $(x-1)^5 - 1 = 0$ .

Es decir, hay cinco raíces de $(x-1)^5 - 1 = 0$ y estas son todas las raíces por el teorema fundamental del álgebra. El producto de las raíces es $(1 + \alpha)(1 + \alpha^2)(1+\alpha^3)(1+\alpha^4)(1+1)$ y esto es igual (por la fórmula de Vieta) al negativo del término constante del polinomio anterior, que es $(-1)(-1^5 - 1) = 2$ por el teorema del binomio. Dividiendo por $(1+1) = 2$ da el producto deseado como $1$ .

Answer 4

Tienes razón, se obtienen todas las raíces a medida que k va de 0 a 4. Digamos que corresponden a $u_0, u_1, u_2,u_3$ y $u_4$ donde $u_0$ es 1 (k=0)

Según entendí tu problema, todo lo que necesitas hacer es tomar la raíz $u_1$ de k=1 y hacer la operación:

$(1+u_1)(1+u_1^2)(1+u_1^3)(1+u_1^4)$