Hallar el producto de $f(x)$ y $g(x)$ dado uno de ellos

Question

Me dan la respuesta final que es $$(g \cdot f)(x) = \frac{1}{x^2+4}\;.$$

Además, me dan $f(x) = x^2+1$ .

He resuelto esto usando la composición, sin embargo la segunda parte de la pregunta me pide encontrar el $g(x)$ lo que haría verdadera esta multiplicación. ¿Cómo lo hago? ¿Divido la respuesta final por $f(x)$ ?

Answer 1

Sí, porque por definición $(g\cdot f)(x)=g(x)\cdot f(x)$ . Por lo tanto $g(x)=\frac1{(x^4+1)(x^2+1)}$ .

Si tuviéramos $(g\circ f)(x)=\frac1{x^4+1}$ en su lugar, una posible $g$ sería $g(x)=\frac1{(x-1)^2+4}$ .

Answer 2

Así que se le dice que $(g \times f)(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 4}$ y también dijo que $f(x) = x^{2} + 1$ .

$(g \times f)(x)$ no es más que el nombre que damos al producto de las dos funciones, es decir, $(g \times f)(x)$ realmente significa $g(x)f(x)$ .

Así que sabemos lo que es este producto. Es $g(x)f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 4}$ . También sabemos que $f(x) = x^{2} + 1$ . Así que eso significa:

$$g(x)(x^{2} + 1) = \dfrac{1}{x^{2} + 4} $$

y resolver para $g(x)$ basta con dividir ambos lados por $x^{2} + 1$ para conseguirlo:

$$g(x) = \dfrac{\left (\frac{1}{x^{2} + 4} \right )}{x^{2} + 1} $$

¿Cómo simplificamos esto? Bien, $x^{2} + 1$ es lo mismo que $\dfrac{x^{2} + 1}{1}$ por lo que la fracción es realmente $$\dfrac{\left (\frac{1}{x^{2} + 4} \right )}{\left (\frac{x^{2} + 1}{1}\right)} $$ y cuando dividimos dos fracciones, invertimos la de abajo y multiplicamos, así obtenemos:

$$\dfrac{1}{x^{2} + 4} \cdot \dfrac{1}{x^{2} + 1} $$

Y esto es sólo $\dfrac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 1)}$ que es tu respuesta final (a menos que quieras multiplicar el denominador utilizando el método FOIL).