Estoy tratando de averiguar cómo la oda $\dot{x}=x^2, x(0)=c>1$ tiene la solución $x(t)=(\frac{1}{c}-t)^{-1}$ mediante la fórmula $x(t) = x_0+ \int^{t}_{t_0}f(s,x(s))ds$ . He probado la sustitución sugerida en los comentarios $u=\frac{1}{x}$ pero no da la forma correcta. También he tratado de pensar en la linealización, pero no puedo averiguar cómo encaja en la fórmula integral?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que se nos plantea el problema de valor inicial (PIV)
$$\dot{x}=f(t,x(t)),\quad x(0)=x_0\tag{1}$$
y la ecuación integral
$$x(t) = x_0+ \int^{t}_{0}f(s,x(s))\,ds\tag{2}$$
donde $f$ es continua en su dominio. Entonces, $x(t)$ es una solución de la PIV $\iff$ $x(t)$ es una solución de la ecuación integral.
En primer lugar, supongamos $x(t)$ es una solución de la ecuación integral. Entonces,
$$\dot{x}=f(t,x(t)),\quad x(0)=x_0$$ De ello se deduce que
$$\frac{dx}{dt}=f(t,x(t))\implies\int_0^t dx=\int_0^t f(s,x(s))\,ds \implies x(t)-x(0)=\int_0^t f(s,x(s))\,ds $$
A continuación, supongamos que $x(t)$ es una solución de la ecuación integral
$$x(t) = x_0+ \int^{t}_{0}f(s,x(s))\,ds$$
Entonces, $f(s,x(s))$ es integrable a partir de $0$ a $t$ para cualquier $t$ en el dominio. Así, $\int_0^t f(s,x(s))\,ds$ es continua en $t$ . Por $(2)$ sabemos que $x(t)$ es continua. Además, como $f$ es continua en su dominio, $f(t,x(t))$ es continua, de lo que se deduce que el lado derecho de $(2)$ es diferenciable, y también lo es $x(t)$ . Diferenciar ambos lados de $(2)$ tenemos $\dot{x}=f(t,x(t))$ donde $x(0)=x_0$ . Por lo tanto, $x(t)$ es una solución a la PIV $(1)$ .
Dado que $x(t)$ es una solución tanto de la PIV como de la ecuación integral, podemos trabajar directamente a partir de $(1)$ $$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=f(t,x(t))=x^2$$
que es una ecuación separable
$$\frac{1}{x^2}\,dx=dt$$ que forma $$-x^{-1}+c_1=t \implies x(t)=\frac{1}{c_2-t}$$ la condición inicial de $x(0)=c$ produce $$c=\frac{1}{c_2}$$ por lo tanto $$x(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{c}-t}=\left(\dfrac{1}{c}-t\right)^{-1}$$
