Solución oda no lineal con fórmula integral

Question

Estoy tratando de averiguar cómo la oda $\dot{x}=x^2, x(0)=c>1$ tiene la solución $x(t)=(\frac{1}{c}-t)^{-1}$ mediante la fórmula $x(t) = x_0+ \int^{t}_{t_0}f(s,x(s))ds$ . He probado la sustitución sugerida en los comentarios $u=\frac{1}{x}$ pero no da la forma correcta. También he tratado de pensar en la linealización, pero no puedo averiguar cómo encaja en la fórmula integral?

Answer 1

Supongamos que se nos plantea el problema de valor inicial (PIV)

$$\dot{x}=f(t,x(t)),\quad x(0)=x_0\tag{1}$$

y la ecuación integral

$$x(t) = x_0+ \int^{t}_{0}f(s,x(s))\,ds\tag{2}$$

donde $f$ es continua en su dominio. Entonces, $x(t)$ es una solución de la PIV $\iff$ $x(t)$ es una solución de la ecuación integral.

En primer lugar, supongamos $x(t)$ es una solución de la ecuación integral. Entonces,

$$\dot{x}=f(t,x(t)),\quad x(0)=x_0$$ De ello se deduce que

$$\frac{dx}{dt}=f(t,x(t))\implies\int_0^t dx=\int_0^t f(s,x(s))\,ds \implies x(t)-x(0)=\int_0^t f(s,x(s))\,ds$$

A continuación, supongamos que $x(t)$ es una solución de la ecuación integral

$$x(t) = x_0+ \int^{t}_{0}f(s,x(s))\,ds$$

Entonces, $f(s,x(s))$ es integrable a partir de $0$ a $t$ para cualquier $t$ en el dominio. Así, $\int_0^t f(s,x(s))\,ds$ es continua en $t$ . Por $(2)$ sabemos que $x(t)$ es continua. Además, como $f$ es continua en su dominio, $f(t,x(t))$ es continua, de lo que se deduce que el lado derecho de $(2)$ es diferenciable, y también lo es $x(t)$ . Diferenciar ambos lados de $(2)$ tenemos $\dot{x}=f(t,x(t))$ donde $x(0)=x_0$ . Por lo tanto, $x(t)$ es una solución a la PIV $(1)$ .

Dado que $x(t)$ es una solución tanto de la PIV como de la ecuación integral, podemos trabajar directamente a partir de $(1)$ $$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=f(t,x(t))=x^2$$

que es una ecuación separable

$$\frac{1}{x^2}\,dx=dt$$ que forma $$-x^{-1}+c_1=t \implies x(t)=\frac{1}{c_2-t}$$ la condición inicial de $x(0)=c$ produce $$c=\frac{1}{c_2}$$ por lo tanto $$x(t)=\frac{1}{\dfrac{1}{c}-t}=\left(\dfrac{1}{c}-t\right)^{-1}$$