¿Lo que ' s mal con esta transformación?

Question

Tengo la ecuación de $\tan(x) = 2\sin(x)$ y me gustaría transformar de esta manera: $$\tan(x) = 2\sin(x) \Longleftrightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2\sin(x) \Longleftrightarrow \sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) \Longleftrightarrow \sin(x) = \sin(2x)$$ Pero me estoy poniendo un mal resultado, así que supongo que yo no puedo hacerlo de esta manera. Por qué?

EDITAR:
Esta es mi solución: $$\tan(x) = 2\sin(x) \Longleftrightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2\sin(x) \Longleftrightarrow \sin(x) = 2\sin(x)\cos(x) \Longleftrightarrow \sin(x) = \sin(2x) \Longleftrightarrow \sin(2x) - \sin(x) = 0 \Longleftrightarrow 2\cos(\frac{3x}{2})\sin(\frac{x}{2}) = 0 \Longleftrightarrow \cos(\frac{3x}{2}) = 0 \v \sin(\frac{x}{2}) = 0$$

Solución adecuada es $\cos(x) = \frac{1}{2} \vee \sin(x) = 0$

Answer 1

No hay ningún problema. Su solución es correcta, y la otra solución es correcta. Pero tienes que hacer un poco de trabajo para ver que dan las mismas respuestas:

• da de $\cos \frac {3x}2 = 0$ $x = \frac{(2k+1)\pi}3:\ x \in \{\pm \frac{\pi}3, \pm\pi,\pm \frac{5\pi}3, \pm \frac{7\pi}3, \pm 3\pi, \ldots\}$
• da de $\sin \frac {x}2 = 0$ $x = 2k\pi:\ x \in \{0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \ldots\}$

al mismo tiempo

• da de $\cos x = \frac 12$ $x =\pm \frac{\pi}3 + 2k\pi:\ x \in \{\pm \frac{\pi}3, \pm \frac{5\pi}3, \pm \frac{7\pi}3, \ldots\}$
• da de $\sin x = 0$ $x = k\pi:\ x \in \{0, \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi,\pm 4\pi, \ldots\}$

Comparación de los valores muestra la misma están en ambas listas.

Answer 2

Usted debe hacer caso omiso de todos los puntos donde $\cos(x) = 0$. Estos son fuera del dominio de la expresión inicial que tienes en el lado izquierdo.

Answer 3

Las soluciones al $\sin(\frac{x}{2})=0$ o $\cos(\frac{3x}{2})=0$ se dan por el $$\frac{x}{2} = \pi k \text{ or } \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb Z,$$ which can be rewritten as $% $ $x = 2\pi k \text{ or } x = \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}k, k \in \mathbb Z.$

Las soluciones al $\cos(x) = \frac{1}{2}$ o $\sin(x)=0$ se dan por $$x = \frac{\pi}{3}+2\pi k, \frac{5\pi}{3}+2\pi k, \pi k, k \in \mathbb Z.$ $ son los mismos conjuntos de puntos.

Answer 4

Ecuaciones $\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sin x$ y $\sin x =2\sin x\cos x$ son de hecho equivalentes puesto que tiene $\cos x = 0$ $\sin x =\pm 1$, que no da solución para la ecuación de segundo.

Por lo tanto, para resolverlo, tenemos o $\sin x = 0$ o $\cos x = \frac 1 2$, por lo tanto las soluciones son dadas por $x = 2k\pi$, $x = \pi + 2k\pi$, $x = \pm\frac\pi 3 + 2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Para resumir, no hay ningún error en su manipulación.

Answer 5

Para resolver, configurar $\sin(x) = \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Restando y factoring le Obtén %#% $ de #% esto sucede si $$\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0.$. Ninguno de estos es una solución $x = 0, \pi, \pi/3, 5\pi/3$, así que todos funcionan.