La separabilidad de un espacio topológico implica CCC.

Question

Quiero demostrar que si un espacio topológico $(X, T)$ es separable entonces el espacio tiene la $CCC$ (es decir, no existe una colección incontable de subconjuntos abiertos mutuamente disjuntos de $X$ .)

Mi intento de prueba:

Procedemos por contrapositiva, a saber, que $X$ no tiene la $CCC$ estado. Esto implica que existe una colección incontable de subconjuntos mutuamente disjuntos, $C$ . Supongamos que $X$ es un espacio separable. Entonces existe un subconjunto denso contable de $D$ . Desde $D$ es denso existe una intersección no vacía con todos los conjuntos abiertos no vacíos de $X$ entonces, eso significa que todos los conjuntos de $C$ tiene una intersección no vacía con $D$ . Esto significa que, puesto que sólo hay una cantidad contable de elementos de $D$ entonces hay algunos conjuntos de $C$ que se cruzan con más de un elemento (ya que hay conjuntos incontables que sólo contienen una cantidad contable de elementos). Esto contradice que esos conjuntos sean mutuamente disjuntos y por lo tanto $X$ tiene el $CCC$ estado.

¿Tiene sentido esta prueba? Si no, ¿dónde están mis errores? Si es así, ¿cómo puedo hacerla más concisa y clara?

Answer 1

No necesitas el contrapositivo.

Puedes argumentar directamente. Desde $D$ es un conjunto denso, se encuentra con todo conjunto abierto no vacío. Si tenemos una colección de conjuntos abiertos disjuntos por pares $\{U_i\mid i\in I\}$ entonces $\{D\cap U_i\mid i\in I\}$ es una familia de subconjuntos no vacíos de $D$ .

Ahora podemos elegir un punto de cada $D\cap U_i$ que define una inyección de $\{U_i\mid i\in I\}$ en $D$ Así que $I$ debe ser contable.

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En cuanto al estilo, recomendaría añadir saltos de línea y utilizar $\rm\LaTeX$ cuando proceda.