Toda la cuestión está en el título: ¿es la equivalencia (∀(x,y)∈F×G,ϕ(x)∨ψ(y))⇔(∀x∈F,ϕ(x))∨(∀y∈G,ψ(y)) verdadero (donde ϕ(x) (resp. ψ(y) ) es una fórmula en la que y (resp. x ) no aparece)?
Me gustaría decir que sí, pero no estoy seguro: ¿tenemos (∀x∈F(ϕ(x)∨ψ(y)))⇔((∀x∈F,ϕ(x))∨ψ(y)) En caso afirmativo, podría decir:
(∀(x,y)∈F×G,ϕ(x)∨ψ(y))⇔(∀y∈F(∀x∈G(ϕ(x)∨ψ(y)))⇔(∀y∈F((∀x∈G,ϕ(x))∨ψ(y))⇔(∀x∈F,ϕ(x))∨(∀y∈G,ψ(y))
Sí, siempre que x no es gratuito en ψy entonces ψy es constante con respecto a x - su validez no se ve afectada por la variación x de ninguna manera.
∀x(x∈F→ϕx∨ψy) iff ∀x(x∈F→ϕx)∨ψy
``\text{any $ x $ in $ F $ satisfies either $ \phi_x $ or $ \psi_y $" iff $ `` $either $ \psi_y $ is true or every $ x $ in $ F $ satisfies $ \phi_x $"}
Ligeramente más formalmente:
Suponiendo que \psi_y entonces \psi_y, \forall x (x\in F\to \phi_x \vee \psi_y) \vdash \forall x(x\in F\to \psi_y) \vdash \psi_y
Suponiendo que \neg\psi_y , \neg \psi_y, \forall x (x\in F\to \phi_x \vee \psi_y) \vdash \forall x(x\in F\to \phi_x)
Por lo tanto, \forall x (x\in F\to \phi_x \vee \psi_y) \vdash \forall x(x\in F\to \psi_x)\vee \psi_y
Y puedes demostrar lo contrario.
PD: también debemos garantizar F no está vacío.
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