Editar : Aquí está la derivación en profundidad.
Supongamos que el péndulo está formado por una cuerda de longitud $L$ y tiene una masa puntual de masa $m$ al final de la cadena. Digamos que lo inclinamos en un ángulo $\theta_0 \in (0,\pi)$ en el sentido contrario a las agujas del reloj desde la horizontal (en el sentido contrario a las agujas del reloj se cuentan los positivos y en el sentido de las agujas del reloj los negativos). Que la masa en la posición vertical posea $0$ energía potencial. Entonces posee $mg(L-L\cos \theta_0)$ cantidad de Energía Potencial en el ángulo firmado de $\theta_0$ . En cualquier ángulo la masa posee una energía cinética de $\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m \left(L\frac{d\theta}{dt}\right)^2$ y una energía potencial de $mg(L-L\cos \theta)$ . Por conservación de la energía mecánica,
$$\frac{1}{2}m\left(L\frac{d\theta}{dt}\right)^2+mgL(1-\cos \theta)=mgL(1-\cos \theta_0)$$
A medida que el péndulo gira en sentido contrario a las agujas del reloj desde un ángulo de $-\theta_0$ a $\theta_0$ , $\frac{d\theta}{dt} \geq 0$ Así que..,
$$\frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{2g}{L}(\cos \theta-\cos \theta_0)}$$
Este movimiento es la mitad del ciclo (para mostrarlo mira la ecuación movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj de $\theta_0$ a $-\theta_0$ ), por lo que tarda la mitad del periodo en producirse. De lo que encontramos,
$$T=2\sqrt{\frac{L}{2g}} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta-\cos \theta_0}} d\theta$$
Como el integrando es par obtenemos,
$$=4\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_{0}^{\theta_0} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta-\cos \theta_0}} d\theta$$
Ahora hacemos la sustitución $\sin x=\dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta_0}{2}}$ . $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ y $\theta \in [0,\theta_0]$ se corresponden entre sí, así que $x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . A continuación, anota las identidades,
$$1-2\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)=\cos \theta$$
$$1-2\sin^2 \left(\frac{\theta_0}{2} \right)=\cos \theta_0$$
Dame,
$$\sqrt{\cos \theta-\cos \theta_0}=\sqrt{2} \sin \frac{\theta_0}{2} \cos x$$
(Si dejamos que $\theta_0 \in (0,\pi]$ En $\cos x$ es no negativo para $x \in \left[0,\frac{\pi}{2} \right]$ ). Obsérvese también la identidad,
$$\cos \frac {\theta}{2}=\sqrt{1-\sin^2 \frac{\theta}{2}}$$
Para $0 \leq \theta \leq \theta_0 \leq \pi$ . Las identidades que encontramos juntas convierten la expresión anterior que encontramos para el periodo en,
$$T=4 \sqrt{\frac{L}{2g}} \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}} dx$$
$$=4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}} dx$$
Dónde $k=\sin (\frac{\theta_0}{2})$ .
También tenemos la expansión de la serie binomial,
$$(1-k^2\sin^2 x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{ \infty} {-\frac{1}{2} \choose n} (-1)^n k^{2n} \sin^{2n} x$$
Un ejercicio estándar en muchos libros es mostrar para números enteros $n \geq 2$ ,
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx=\frac{n-1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x dx$$
Por lo tanto, para $n \geq 1$ ,
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} x dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} \frac{\pi}{2}$$
Usando esto da,
$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} {-\frac{1}{2} \choose n} (-1)^n k^{2n} \right)$$
También es famoso el resultado de $n \geq 1$ es,
$$(-1)^n {-\frac{1}{2} \choose n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}$$
Así que el período exacto es,
$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+ \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} \right)^2 k^{2n} \right)$$
Según lo reclamado.
La ecuación que modela un péndulo simple es,
$$-g\sin \theta=L \theta''$$
Donde la derivada anterior es una derivada temporal. Leí en mi libro que el periodo del péndulo partiendo de un ángulo de $\theta(0)=\theta_0$ es exactamente,
$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^2 \left(\frac{\theta_0}{2}\right)+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \left(\frac{\theta_0}{2}\right)+\cdots \right]$$
Mi pregunta es ¿cómo conseguirlo?
Aquí hay algo que he intentado usar $\sin (\theta)=\theta-\frac{\theta^3}{3}+\cdots$ para llegar a una solución aunque veo que si incluyo algo más que otro término estoy perdido. Con un término puedo obtener el primer término del periodo.
Aquí hay otra cosa que traté de hacer, tomar transformadas de Laplace en ambos lados para obtener:
$$-g \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin (\theta(t))dt=L(s^2F(s)-s\theta(0)-\theta'(0))$$
Pero de nuevo parece que no hay esperanza de resolver esa integral.
