¿Qué es una pregunta matemática importante?

Question

$\DeclareMathOperator\GL{GL}$ Muchas veces he oído a gente decir frases como X es una cuestión importante/ X es una cuestión natural. Me parece muy sorprendente porque para mí todo es cuestión de gustos. La gente me pregunta por qué estudiar ciertas cosas y mi respuesta mental es que es divertido o simplemente por curiosidad; pero a menudo lo que he descubierto es que cuando presento mi pregunta con suficiente jerga entonces están de acuerdo en que mis preguntas merecen ser estudiadas.

Un ejemplo es la positividad de Schur: para mí es un fenómeno extremadamente raro y cada vez que una familia de funciones simétricas es positiva de Schur me parece digna de estudio por derecho propio. Pero cuando tengo que explicárselo a la gente tengo que hablar en términos de mapa de Frobenius, representaciones de $\GL_n$ etc. Pero nunca entendí por qué las representaciones de grupo simétrico o $\GL_n$ es más importante que las funciones simétricas.

Así que realmente quiero saber cómo decidir si merece la pena estudiar una pregunta. ¿Cómo decido qué pregunta es importante plantear en matemáticas?

Lo siento si este no es el lugar adecuado para preguntar esto. Lo eliminaré si infringe de algún modo la política de MO.

Answer 1

En mi experiencia, a menudo la "importancia" fluye desde los problemas grandes y desafiantes hasta los problemas esotéricos y ligeramente menos desafiantes, en una larga corriente enrevesada que puede llegar a ser totalmente oscura.

En informática, nos preocupamos por P vs NP. Pues bien, no podemos resolver eso. ¿Cuál sería un paso para resolverlo? Tal vez mostrar que 3SAT requiere tiempo o espacio superlineal. Bueno, no podemos demostrar eso. Tal vez podamos demostrar que clases restringidas de circuitos no pueden resolver 3SAT (o un problema aún más simple). Bien, si eso es difícil, tal vez podamos formular una versión algebraica de la pregunta. Vale, resolver eso implica entender lo intrincado que puede ser un polinomio de bajo grado. Etc.

Ah, pero quizá tampoco podamos resolver ese problema, pero podemos formular un problema análogo para polinomios de cierto grado sobre un campo finito diferente, y esperar que las técnicas e ideas desarrolladas puedan conducir a avances en $\mathbf{F}_2$ o lo que sea (no soy un experto en la materia, así que me estoy inventando cosas a estas alturas).

Al final, se tiene un flujo continuo de artículos "importantes" con resultados como la mejora de los límites de las propiedades del espectro de Fourier de ciertos polinomios, y los recién llegados (quizá incluso los veteranos) ya no pueden rastrear la motivación.