¿Qué es una pregunta matemática importante?

Question

$\DeclareMathOperator\GL{GL}$ Muchas veces he oído a gente decir frases como X es una cuestión importante/ X es una cuestión natural. Me parece muy sorprendente porque para mí todo es cuestión de gustos. La gente me pregunta por qué estudiar ciertas cosas y mi respuesta mental es que es divertido o simplemente por curiosidad; pero a menudo lo que he descubierto es que cuando presento mi pregunta con suficiente jerga entonces están de acuerdo en que mis preguntas merecen ser estudiadas.

Un ejemplo es la positividad de Schur: para mí es un fenómeno extremadamente raro y cada vez que una familia de funciones simétricas es positiva de Schur me parece digna de estudio por derecho propio. Pero cuando tengo que explicárselo a la gente tengo que hablar en términos de mapa de Frobenius, representaciones de $\GL_n$ etc. Pero nunca entendí por qué las representaciones de grupo simétrico o $\GL_n$ es más importante que las funciones simétricas.

Así que realmente quiero saber cómo decidir si merece la pena estudiar una pregunta. ¿Cómo decido qué pregunta es importante plantear en matemáticas?

Lo siento si este no es el lugar adecuado para preguntar esto. Lo eliminaré si infringe de algún modo la política de MO.

Answer 1

La cuestión de qué hace que un problema matemático sea digno de estudio e incluso importante es en sí misma una importante metapregunta sobre las matemáticas. He aquí algunos puntos (a la vez subjetivos) que se pueden considerar

1. Difícil - Para que un problema merezca tu esfuerzo tiene que ser difícil. Si es fácil o la solución es rutinaria, es una debilidad.
2. No desesperados - Tanto para los matemáticos individuales como para las matemáticas en su conjunto, los problemas que son totalmente desesperados, son menos dignos.
3. Profundidad: no intentaré definir la profundidad.
4. Fundamentales - Hay problemas que son obviamente fundamentales para un área matemática, como qué son los grupos simples finitos (o los grupos simples infinitos) y cuál es la estructura de los grupos p. A veces, la solución conduce a conocimientos fundamentales.
5. Requiere nuevas herramientas
6. Natural: tiendo a considerar importantes los problemas que surgen de forma natural. (Pero esto es controvertido).
7. Hermoso - Los matemáticos pueden tener diferentes gustos por la belleza, pero los gustos individuales no son ortogonales.
8. Conectado a otros problemas; (añadido por Dirk ) útiles para resolver otros problemas o comprenderlos mejor.
9. Aplicada; relacionada con otras áreas de la ciencia y la tecnología

Answer 2

Prefiero preguntar "cómo es" importante una cuestión matemática en lugar de "qué es" un problema matemático importante. Algunos ejemplos

1. (Resuelve un cuello de botella) Si la cuestión que aborda es la primera de un montón de problemas relacionados pero inaccesibles, y al dar respuesta a la primera implica la verdad/falsedad de todos los problemas posteriores, este problema es importante.

2. (Desarrolla una herramienta) Si el método que introduce para abordar la pregunta puede reutilizarse ampliamente, entonces la pregunta era importante.

3. (Capta la esencia en un "fenómeno común") Si la pregunta que formula conduce a una definición útil o a un marco conceptual útil para captar los fenómenos subyacentes sobre los que intenta razonar, entonces ha formulado una pregunta matemática importante.

4. (Moda / Oportunidad) La importancia de una pregunta matemática puede subir y bajar como la moda. Si eres pitagórico, averiguar la diagonal de un cuadrado era una pregunta importante. Si eres un matemático de hoy, quizá el programa de Langlands sea más importante.

Creo que a veces una pregunta importante es la que le preocupa a mucha gente y no sabe cómo responderla, pero otras veces, puede que sólo sea un puñado de personas el que se la haga y, sin embargo, al haber respondido a esa pregunta, se llega a un montón de descubrimientos.

La palabra clave parece ser impacto, y adónde conduce la pregunta en la red de ideas matemáticas.

(Editar)

Un poco más con los pies en la tierra, nadie se va a levantar cada día y va a hacer una pregunta que va a pasar a la historia como una de las preguntas más importantes del 1% de las que se han hecho nunca. Pero si haces una pregunta que al pensarla refresques tu comprensión o simplemente pienses no se perdió el tiempo entonces es una pregunta importante para ti preguntar. Si adquieres el hábito de hacer preguntas que te ayuden a avanzar en tu comprensión, y un día te encuentras trabajando en la frontera de las matemáticas, donde nadie entiende las cosas tan bien, es posible que las preguntas que hagas resulten ser preguntas matemáticas importantes.

Answer 3

Creo que la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que los criterios Gil Kalai destacado son lo que nosotros, como comunidad, diríamos a los profanos, o a los políticos, o a otros científicos (digamos biólogos o químicos). Pero como estamos en un sitio web de matemáticas, soy lo bastante ingenuo como para pensar que podemos ser más honestos.

En la mayoría de los casos, lo que hace que una pregunta sea importante es que los peces gordos de su campo hayan decidido que la pregunta es importante. Esto queda perfectamente ilustrado por tu opinión sobre la positividad de Schur. Los peces gordos de la teoría de la representación decidieron que algunas cuestiones son importantes y usted cree que la gente está mucho más dispuesta a escucharle si relaciona su interesante problema con las cuestiones de los peces gordos.

Pero entonces se preguntará " Cómo definir a un pez gordo ". La respuesta es muy sencilla: se trata de alguien que resuelve cuestiones importantes. Y se obtiene un círculo perfectamente virtuoso de " personas importantes " planteando cuestiones importantes y sus estudiantes (o posdoctorandos) resolviéndolas, convirtiéndose en el proceso en los nuevos peces gordos.

Hace mucho (mucho) tiempo, le pregunté a mi director de tesis de máster por qué los alumnos de tal o cual pez gordo conseguían un puesto fijo tan pronto en su carrera, mientras que otros jóvenes investigadores, que parecían más productivos, más originales y más dedicados a la Ciencia en general, tenían tantos problemas para encontrar trabajo. Y me dijo " La respuesta es muy sencilla: los peces gordos consiguen que los mejores estudiantes hagan un doctorado con ellos, les dan las preguntas importantes e interesantes para sus tesis y luego los estudiantes consiguen las mejores tesis doctorales, por lo que obtienen los mejores puestos al principio de su carrera. " Cristalino

Edición añadida posteriormente : Después de pensarlo un poco más, me gustaría argumentar que la palabra importante debe evitarse para describir una cuestión matemática. "Bien motivada, sorprendente, divertida, bien conectada,..." me parecen mucho más adecuadas para describir las reacciones mentales que se pueden tener al enfrentarse a una (nueva) pregunta.

"Importante" es en mi opinión una palabra de poder que la gente con comportamientos sociópatas en el mundo académico (véase por ejemplo este documento ) pueden utilizar para romper la carrera de alguien que no trabaja en su área (" este artículo no merece ser publicado, trata cuestiones sin importancia ") o para favorecer las carreras de quienes trabajan estrechamente con ellos ( "Esta tesis doctoral es impresionante, aborda una cuestión muy importante ").

Answer 4

Quiero señalar que usted ha planteado dos cuestiones, y en mi opinión son cuestiones muy diferentes.

1. Así que realmente quiero saber cómo decidir si merece la pena estudiar una pregunta.

2. ¿Cómo decido qué pregunta es importante plantear en matemáticas?

La respuesta a la pregunta 1 está en su personal mientras que la respuesta a la pregunta 2 está en comunidad valores.

La importancia, como bien han explicado otros, es intrínsecamente una cuestión sobre lo que valora la comunidad matemática. La forma de saber qué es importante es estudiando las palabras y acciones de la comunidad matemática.

Sin embargo, decidir si merece la pena estudiar una cuestión es una elección personal. Por supuesto, puede basarse en el conocimiento de lo que valora la comunidad matemática. Pero, al fin y al cabo, lo que decides es tu tiempo, tu mente y tu vida. Sólo tú puedes decidir en qué merece la pena invertir. Parte de convertirse en un erudito maduro es establecer tu propia brújula interna.

Por supuesto, hay realidades prácticas que considerar. Si la comunidad le ofrece algo que usted desea, y sólo se lo dará si usted trabaja en cosas que it considera importante y que usted no considere importante, entonces puede optar por el compromiso. Sin embargo, incluso en esas situaciones, creo que tomarás decisiones más sabias si distingues claramente entre lo que tú valoras y lo que valoran los demás.

Answer 5

Gil ya te ha dado una respuesta excelente. Sólo añadiré un pequeño consejo: cuando oigas que alguien dice que vale la pena estudiar un determinado problema/pregunta abierta, añade 1 punto a la puntuación del problema en tu marcador y cuando oigas que alguien dice que un determinado problema/pregunta abierta es no vale la pena estudiar, resta un punto de la puntuación de la persona que dijo eso.