Es $y = \log_e {(3 - x)}$ la inversa de $y = 3 - e^x$ ?

Question

Necesito encontrar la función inversa de $f(x) = 3 - e^x$ .

¿Estoy en lo cierto al suponer que es $f^{-1}(x) = \log_e {(3 - x)}$ ?

Answer 1

Sí, su solución es correcta. He aquí cómo encontrar la inversa de una función exponencial:

$$y=3-e^x\implies e^x=3-y.$$

Por definición, una función logarítmica es la inversa de una función exponencial:

$$y=a^x\Longleftrightarrow x=\log_a{y}.$$

Por lo tanto: $$3-y=e^x \Longleftrightarrow x=\ln{(3-y)}.$$

Lo único que tienes que hacer ahora es cambiar los nombres de las variables.

También puedes comprobar siempre si lo que tienes son funciones inversas. Para las funciones inversas, lo siguiente siempre es cierto: $$f(f^{-1}(x))=x$$ y $$f^{-1}(f(x))=x.$$

Answer 2

Sí: Si $f(x) = \ln (3 - x)$ entonces tendremos:

$f(f^{-1}(x)) = x$

$\ln (3 - f^{-1}(x)) = x$

$e^{\ln (3 - f^{-1}(x))}= e^x$

$3-f^{-1}(x) = e^x$

$-f^{-1}(x) = e^x -3$

$f^{-1}(x) = 3 - e^x$

Y podemos verificar que $\ln (3 - (3-e^x)) = \ln e^x = x$ y que $3-e^{\ln (3-x)} = 3- (3 -x) = x$ .

Answer 3

Dos funciones $f:X\to Y$ et $g:Y\to X$ son inversas entre sí si y sólo si $f(g(y))=y$ para cada $y\in Y$ et $g(f(x))=x$ para cada $x\in X$ .

Si $f(x)=\ln(3-x)$ entonces su dominio (natural) es $(-\infty,3)$ y su alcance es $\mathbb R$ .

Así que aquí hay que comprobar que:

• $\ln(3-(3-e^y)=y$ para cada $y\in\mathbb R$ .
• $3-e^{\ln(3-x)}=x$ para cada $x\in(-\infty,3)$ .

Ahora realiza tú mismo las comprobaciones (y comprobarás que, efectivamente, las funciones son inversas entre sí).

No hay que olvidar que se trata de funciones $(-\infty,3)\to\mathbb R$ et $\mathbb R\to(-\infty,3)$ .

Answer 4

$$y=3-e^x\iff e^x=3-y\iff x=\ln(3-y),$$ así que sí. Estas ecuaciones sólo pueden mantenerse si $y<3$ ; no hay restricciones para $x$ .

Answer 5

Sí, tiene razón. Recibimos $$e^x=3-y$$ así que $$x=\ln(3-y)$$ si $$3>y$$