¿Por qué $\cos(x) + \cos(y) - \cos(x + y) = 0$ mirada como una elipse?

Question

El conjunto de soluciones de $\cos(x) + \cos(y) - \cos(x + y) = 0$ se ve como una elipse. Es en realidad una elipse, y si es así, ¿hay una manera de escribir su ecuación (sin funciones trigonométricas)?

Lo que motiva este es el ejemplo siguiente. El conjunto de soluciones de $\cos(x) - \cos(3x + 2y) = 0$ se ve como dos líneas rectas, y de hecho, podemos determinar las ecuaciones de las líneas.

$$ \begin{align} \cos(x) &= \cos(3x + 2y) \\ \implica x &= \pm (3x + 2y) \\ \implica x + y &= 0 \text{ o } 2x + y = 0 \end{align} $$

Podemos hacer una cosa similar para la primera ecuación?

Answer 1

Se ve como una elipse porque el isocurves de cualquier superficie lisa mirada como una elipse en las proximidades de un extremo !

De hecho, Taylor desarrollo en 2D,

$$f(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-b)\\ +\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x-a)^2+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x-a)(y-b)+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(y-b)^2\cdots$$

Este desarrollo muestra que en la vecindad de cualquier punto de una superficie lisa generalmente se comporta como un avión porque los términos lineales de dominar y isocurves son, aproximadamente, las líneas rectas.

Pero cuando las primeras derivadas son cero, el siguiente orden de los términos, la cuadrática, entrar en el juego y el comportamiento se convierte en la de un quadric. El isocurve $f(x,y)=F$ es, aproximadamente, de la forma

$$A(x-a)^2+2B(x-a)(y-b)+C(y-b)^2=D,$$ una elipse centrada en $(a,b)$. (Siempre que la forma cuadrática es positiva definida, es decir, no es un punto de silla.)

Más cerca de llegar al extremo, la más exacta de la elipse. El efecto es más pronunciado y las curvas más simétrica cuando la tercera orden de los derivados son pequeñas.

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En el caso de la función trigonométrica, la traducción de las coordenadas $(\pi,-\pi)$, para lograr un máximo en el origen, obtenemos

$a$z=\cos(x)+\cos(y)+\cos(x+y).$$

A continuación, el desarrollo de Taylor hasta el cuarto orden de los rendimientos

$a$z\aprox 3-x^2-xy-y^2+\frac{x^4}{12}+\frac{x^3y}6+\frac{x^2y^2}4+\frac{xy^3}6+\frac{y^4}{12}.$$

El gráfico siguiente muestra la isocurve $z=0$ calculada con la quadric (marrón) y el cuarto grado (rosado) aproximaciones; la segunda, es indistinguible de la verdadera curva, un cuasi-elipse.

Answer 2

Mediante la suma de los productos de la fórmula para el coseno

$$ \cos s + \cos t = 2\cos \tfrac{s+t}{2}\cos \tfrac{s-t}{2} = \cos (s+t)$$

este es un buen momento para hacer que el 45 grados de rotación de $u = \tfrac{s+t}{2}:, v=\tfrac{s-t}{2}, s+t = 2u$

$$ 2\cos u\cos v = \cos 2u \hspace{0.25, en}\text{o}\hspace{0.25, en} \bbox[5px,border:2px solid #F5A029]{2\cos v = \frac{\cos 2u}{\cos u}}$$

Wolfram Alpha doens no ofrecen mucho más allá de la simplificación este.

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

x = 2*np.pi*np.arange(-1,1,0.01)
y = 2*np.pi*np.arange(-1,1,0.01)
z = np.cos(x[...,None]) + np.cos(y[None,...]) - np.cos(x[...,None]+y[None,...])
plt.contour(x,y,z)

Definitivamente no son elipses:

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Alternativas parcelas de Wolfram Alpha. De alguna manera el nivel de los conjuntos debe interpolar entre los "puntos suspensivos" y el "arco-lazos".

Amebas y Coamoebas

El uso de Demoivre identidad $\cos \theta + \sin \theta = e^{i\theta}$ por el contrario, podemos considerar la ecuación de números complejos:

$$ e^{ix} + e^{i y} - e^{i(x+y)} = z + w - zw = 1 - (z-1)(w-1) = 0$$

El conjunto de puntos $(z,w) \in \mathbb{C}^2$, para satisfacer esta ecuación no es una variedad algebraica. El registro de las normas son lo que se conoce como una ameba.

$$ \log: (z,w) \mapsto (\log |z|, \log|w|) \hspace{0.25, en}\text{para}\hspace{0.25} (z,w) \in \{ (z,w):z + w - zw\} $$

Los ángulos de las soluciones a esta ecuación se conoce como la coamoeba

$$ \arg: (|z|e^{i\theta},|w|e^{i\phi}) \mapsto (\theta, \phi) \hspace{0.25, en}\text{para}\hspace{0.25} (z,w) \in \{ (z,w):z + w - zw\} $$

Ver Lo que es una Ameba en los Avisos de la Sociedad Matemática Americana. O la tesis de Maestría de Yamazaki Masahito Brane Apuntados y sus Aplicaciones

Answer 3

La ecuación no es una elipse, o incluso una familia de elipses. Los puntos suspensivos son las gráficas dadas por una relación cuadrática en $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ex+F=0.$$ Su ecuación, utilizando la Expansión de Taylor ($k\to\infty$), es $$\sum _{n=0}^k\frac{\left(-1\right)^n\left(x^{2n}+y^{2n}\right)}{\left(2n\right)!}=\suma de _{n=0}^k\frac{\left(-1\right)^n\left(x+y\right)^{2n}}{\left(2n\right)!},$$ que sólo es cuadrática para $k=1,$ y, de paso, la gráfica de $k=1$ no es una elipse, pero la hipérbola $xy+1=0.$ Como una nota relacionada, cerca de un duplicado de su gráfica utilizando una elipse es $$\left(x-\pi \right)^2+\left(x-\pi \right)\left(y-\pi \right)+\left(y-\pi \right)^2-\sqrt{19}=0.$$ Pero por la inspección vemos que la curvatura de los gráficos no son iguales.

De hecho, esta es una animación que muestra el polinomio de relaciones para $k=0$ $k=20.$

Los "puntos suspensivos" se producen a lo largo de las líneas $y=\pm x.$

También, como se conjeturó mi @MathGemini en los comentarios anteriores, el gráfico puede ser una aglomeración de conos en $(x,y,z)$ donde $a$z=\cos x+\cos y-\cos(x+y).$$ Este no es el caso, sin embargo debido a que la superficie que se obtiene es uno de los periódicos de máximos y mínimos, que es el comportamiento esperado dada por la ecuación.

(Esta es la superficie y su intersección con el $xy$ avión visto desde el positivo de $z$eje).

(Esta es la superficie y su intersección con el $xy$ avión visto desde $x>0,y>0,z>0.$)

(Esta es la superficie y su intersección con el $xy$ avión visto desde debajo de los $xy$avión).

Answer 4

No son elipses.

Para probar esto, considere la curva cerrada situada por encima y directamente a la derecha del origen. Puesto que la ecuación dada es simétrica entre $x$ y $y$, esta curva es simétrica alrededor de la línea de $ $ y=x$. Por lo tanto, si es una elipse, su eje menor debe de línea en la línea $y=x$. Ahora, es fácil comprobar que los puntos $$ (\pi,\pi) \pm \alpha (1,1) \qquad\text{y}\qquad (\pi,\pi) \pm \beta (-1,1), $$ mentira, en esta curva, donde $\alpha = \cos^{-1}\!\!\a la izquierda(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)$ y $\beta = \dfrac{2\pi}{3}$, por lo que estos tendrían que ser los extremos de los ejes mayor y menor. Sin embargo, en este caso, el punto de $$ (x,y) \;=\; (\pi,\pi) + \frac{\alpha}{\sqrt{2}}(1,1) + \frac{\beta}{\sqrt{2}}(-1,1) $$ también tienen que estar en la elipse, y no es así. En particular, $$ \cos(x) + \cos(y) -\cos(x+y) \;\approx\; -1.906 \;\ne\; 0. $$ para estos valores de $x$ y $y$.

Answer 5

Para el registro, la sustitución $t=\cos x, s=\cos$ y conduce a $2o(s+t) + 1 = 2(s^2+t^2+st)$ con $s, t$ que van más de $[-1, 1]$. Ahora tenemos algunos algebraicas aparejador para reconocer esta ecuación...