Una bonita familia contable de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$

Question

Mi pregunta es la siguiente (en $\mathtt{ZFC}$ ), donde asumo que la topología de $\mathbb{R}$ es la habitual:

¿Existe una familia contable $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de subconjuntos abiertos no vacíos de $\mathbb{R}$ tal que para cada $X\subseteq \mathbb{N}$ que es infinito y coinfinito, existe un an $x\in\mathbb{R}$ con $\{n\in\mathbb{N}\mid x \in U_n\} = X$ ?

¿Por qué? ¿Por qué no?
¿Ideas?

Gracias.

Answer 1

Sea $f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ con $\displaystyle f(N) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left\{ \begin{array}{3c} 1, & \text{if} & n \in N\\ 0, & \text{if} & n \not \in N\\ \end{array} \right.}{2^n}$

Así que esto es básicamente $0.\text{<is 1 in N?>}\text{<is 2 in N?>}\text{<is 3 in N?>}\ldots$ en binario.

Dado que los dígitos binarios del número real sólo serán exactamente iguales si los subconjuntos originales de los números naturales eran exactamente iguales, podemos concluir que $f(A) = f(B) \Longrightarrow A = B$ .

Y ahora simplemente tenemos $\displaystyle U_n = \{ f(N) \mid N \subseteq \mathbb{N} \land N \not = \emptyset \land N \not = \mathbb{N} \land n \in N\}$ . Desde $\{ n \}$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ , $U_n$ nunca está vacío. Dado que $U_n$ cubre completamente los números binarios en el intervalo $(0, 1)$ pero no incluye los extremos 0 y 1, ya que no permitimos $N = \emptyset$ et $N = \mathbb{N}$ es un conjunto abierto.

Desde $X$ tiene que ser infinito y cofinito, sabemos que $X \not = \emptyset$ et $X \not = \mathbb{N}$ .

Ahora, por cada $X \subseteq \mathbb{N}$ , dejemos que $x = f(X)$ Por lo tanto: \begin{equation} \begin{array}{*2c} & \{ n \in \mathbb{N} \mid x \in U_n \} \\ = & \{ n \in \mathbb{N} \mid \exists N \subseteq \mathbb{N} (x = f(N) \land N \not = \emptyset \land N \not = \mathbb{N} \land n \in N) \} \\ = & \{ n \in \mathbb{N} \mid \exists N \subseteq \mathbb{N} (f(X) = f(N) \land N \not = \emptyset \land N \not = \mathbb{N} \land n \in N) \} \\ = & \{ n \in \mathbb{N} \mid \exists N \subseteq \mathbb{N} (X = N \land N \not = \emptyset \land N \not = \mathbb{N} \land n \in N) \} \\ = & \{ n \in \mathbb{N} \mid n \in X \} \\ = & X \\ \end{array} \end{equation}

Answer 2

Esa familia existe:

tomemos cualquier esquema de Cantor $(U_s)_{s\in 2^{<\mathbb{N}}}$ de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ y que $\varphi: 2^\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ sea la incrustación inducida.
Defina $U_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ como $U_n = \bigcup_{s\in 2^n} U_{s^\smallfrown 1}$ , donde aquí considero $2^n$ el conjunto de secuencias binarias finitas de longitud $n$ con $2^0$ siendo el singleton de la secuencia vacía.
Ahora bien, dado cualquier $A\subseteq\mathbb{N}$ deje $\unicode{x1D7D9}_A \in 2^{\mathbb{N}}$ sea la función característica de $A$ tenemos que $$\{n\in\mathbb{N}\mid \varphi(\unicode{x1D7D9}_A)\in U_n\} = A$$