Existen $3$ chicos y $3$ chicas. ¿De cuántas maneras se pueden organizar para que dos chicas no estén juntas?

Question

• Existen $3$ chicos y $3$ chicas. ¿De cuántas maneras se pueden organizar para que dos chicas no estén juntas?

En lugar de complicar las cosas, escribo directamente un supuesto como se ilustra a continuación

$$\text{All permutations = Total possibilities - Two girls are together}$$

Ya observamos que las posibilidades totales deben ser $6!$ . Calculemos la permutación de dos chicas están juntas. Recordemos que $K$ representa a las chicas, $E$ representa a los chicos.

Entidad $1$ : $K_1K_2 \implies 1$

Entidad $2$ : $B_1B_2B_3K_3 \implies 4$

Entidad $1$ et $2$ : $5!$

Y las chicas pueden reorganizarse en $2$ lo que da como resultado $5!\times 2!$ . Introduciendo en la ecuación escribimos

$$6!-5!\times 2! = 480$$

Sin embargo, la respuesta final que obtuve debe ser incorrecta. ¿Puede ayudarme?

Answer 1

¿De cuántas maneras pueden colocarse tres chicos y tres chicas en fila de forma que no haya dos chicas adyacentes?

Método 1: Colocamos a los tres niños en fila y, a continuación, a las niñas en los espacios entre los niños y en los extremos de la fila para separarlos.

Los tres chicos pueden colocarse en fila en $3!$ maneras. Esto crea cuatro espacios, dos entre chicos sucesivos y dos en los extremos de la fila. $$\square B_1 \square B_2 \square B_3 \square$$ Para asegurarnos de que no hay dos chicas adyacentes, debemos elegir uno de estos espacios en los que colocar a las chicas, lo que se puede hacer en $\binom{4}{3}$ maneras. Las tres chicas pueden colocarse en los espacios seleccionados en $3!$ maneras. Por lo tanto, el número de disposiciones admisibles es $$\binom{4}{3}3!3!$$

Método 2: Corregimos su intento utilizando el Principio de inclusión-exclusión .

Existen $6!$ formas de organizar a las seis personas. Como usted ha dicho, queríamos excluir las disposiciones en las que un par de chicas son adyacentes.

Existen $\binom{3}{2}$ formas de seleccionar a dos chicas que sean adyacentes. Tenemos cinco objetos para ordenar, el bloque de dos niñas y los otros cuatro niños. Los objetos se pueden ordenar en $5!$ formas y las chicas pueden disponerse dentro del bloque en $2!$ formas. Por lo tanto, hay $$\binom{3}{2}5!2!$$ disposiciones en las que dos chicas son adyacentes.

Si restamos del total el número de arreglos en los que un par de chicas son adyacentes, habremos restado demasiado, ya que habremos restado dos veces cada arreglo en el que hay dos pares de chicas adyacentes, una vez por cada par de chicas adyacentes que podríamos haber designado como par de chicas adyacentes. Sólo queremos restar esos arreglos una vez, así que tenemos que sumar al total el número de arreglos en los que hay dos pares de chicas adyacentes.

Para tener dos pares de chicas adyacentes, las tres chicas deben ser consecutivas. Si tratamos a las tres chicas consecutivas como un bloque, tenemos cuatro objetos que ordenar, el bloque de tres chicas y los tres chicos. Los objetos se pueden ordenar en $4!$ maneras. Las chicas pueden organizarse dentro del bloque en $3!$ maneras. Por lo tanto, el número de disposiciones en las que hay dos pares de chicas adyacentes es $4!3!$ .

Por lo tanto, el número de disposiciones admisibles es $$6! - \binom{3}{2}5!2! + \binom{3}{3}4!3!$$

Answer 2

No lo afirmas, pero asumo que los chicos son indistinguibles y las chicas también. Por favor, aclárelo.

Piensa en tres chicas. Debe haber al menos un chico separando las parejas: $GBGBG$ . La única pregunta que queda entonces es dónde puede ir el último niño: $\bullet G \bullet B \bullet G \bullet B \bullet G \bullet$ . Tenga en cuenta que algunos de estos casos son idénticos, por lo que puede eliminarlos

¿Cuántos lugares distinguibles en total?

Answer 3

Las chicas pueden estar en posiciones $\{1,3,5\}$ , $\{1,3,6\}$ , $\{1,4,6\}$ ou $\{2,4,6\}$ . Para cada una de ellas hay seis permutaciones de las chicas, y para cada una de ellas hay también seis permutaciones de los chicos, por lo que la respuesta debería ser $4\cdot 3!\cdot 3! = 144$ .

Answer 4

Todas las formas de sentar a todas las personas

$6!$

Por lo menos $2$ chicas juntas.

Adjuntamos 2 chicas, y asignamos $5$ objetos. Hacer para $5!$ asignaciones

$5!$ Pero podemos intercambiar el orden de las chicas. Y tenemos 3 chicas que podemos hacer el "impar-man-out"

$5!\cdot 6 = 6!$

Pero hemos contado dos veces todos los casos en los que tenemos a las 3 niñas juntas.

$4!3!$

$6! - (6! - 4!3!) = 4!3! = 144$