Compruebe que $f(0)=\frac{1}{2}$ utilizando el lema de Schwarz

Question

Supongamos que $f$ es analítica en un regoin que contiene la clausura de $D=\{|z|<1\}$ . Supongamos que $|f(z)|<1$ para $z\in D$ .
Supongamos que $f$ tiene un cero simple en $\frac{1}{4}(1+i)$ y un doble cero en $\frac{1}{2}$ .
Puede $f(0)=\frac{1}{2}$ ?

Desde $|f(z)|<1$ creo que podemos usar el Lemma de Schwarz aplicando el automorfismo $\phi_a$ donde $$\phi_a(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$$ Aquí probé $g=f\phi_{-\frac{1}{4}(1+i)}$ y $g=f\phi_{-\frac{1}{2}}$ pero todavía no puedo obtener suficiente información para verificar si $f(0)=\frac{1}{2}$ .

Incluso intenté escribir $$f(z)=(z-\frac{1}{4}(1+i))(z-\frac{1}{2})^2h(z)$$ para algunos $h$ analítica y $h(\frac{1}{2})\neq 0$ y $h(\frac{1}{4}(1+i))\neq 0$ sigue sin funcionar.

Observación: Este es el Ejercicio 7 (Página 133) de Función de Una Variable Compleja por Conway.
Existe una solución en http://sertoz.bilkent.edu.tr/courses/math503/2014/hwk03-sol.pdf . Pero no me satisface ya que no podemos concluir que $|f(z)|=1$ para $|z|=1$ .

Answer 1

Reclamación : Es imposible que $f(0)=1/2$ .

Prueba . Supongamos, por contradicción, que $f(0)=1/2$ . Gracias a que $f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ es analítica, y que $$ \Phi_{a,\theta}(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z} $$ es analítica a partir de $\mathbb{D}$ a $\mathbb{D}$ con $\Phi_{a,\theta}(a)=0$ define $$ g(z)=\left(\Phi_{\frac{1}{2},\theta}\circ f\right)(z)=e^{i\theta}\frac{f(z)-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}f(z)}, $$ que satisface que $g:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ es analítica con $g(0)=0$ . Por tanto, se aplica el lema de Schwarz: $$ \left|g(z)\right|\le\left|z\right|\quad\forall z\in\mathbb{D}. $$ Tenga en cuenta que $1/2\in\mathbb{D}$ y que, utilizando $f(1/2)=0$ , $$ \left|g\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)\right|=\left|e^{i\theta}\frac{0-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}\cdot 0}\right|=\left|\frac{1}{2}\right|. $$ Así pues, por el lema de Schwarz, es imprescindible que $$ g(z)=e^{i\alpha}z\quad\forall z\in\mathbb{D} $$ de verdad $\alpha$ . Combinado con la definición de $g$ desde arriba, $$ f(z)=\frac{\frac{1}{2}+e^{i\left(\alpha-\theta\right)}z}{1+\frac{1}{2}e^{i\left(\alpha-\theta\right)}z}. $$ Además, $f(1/2)=0$ fuerzas $\alpha-\theta\equiv\pi$ es decir, $$ f(z)=\frac{\frac{1}{2}-z}{1-\frac{1}{2}z}=\frac{2z-1}{z-2}. $$ Se puede ver que esta única posibilidad para $f$ no produce ni un simple cero en $z=\left(1+i\right)/4$ ni un doble cero en $z=1/2$ . Por lo tanto, $f(0)\ne 1/2$ .