Prueba de la segunda derivada

Question

¿Existe una función $f$ cuya segunda derivada es $1$ en $c$ la primera derivada es $0$ en $c$ pero la segunda derivada no es continua en ningún intervalo abierto que contenga a $c$ ?

Answer 1

Eche un vistazo a la función $$g(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x),& x\not=0\\0,& x=0 \end{cases}$$ Tiene derivados $g'(x)=0$ en $x=0$ y $$g'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$$ en todas partes. Obviamente, la derivada no es continua en $0$ .

Para definir una función $f$ que satisfaga los requisitos dados, añada $x$ e integrar: $$f(x)=\int_0^x (g(y)+y)dy.$$ Entonces $f'(0)=g(0)+0=0$ y $f''(0)=g'(0)+1=1$