Conjunto abierto que contiene los racionales pero complemento no enumerables

Question

Me estoy tomando un Análisis Real de las clases y tengo una tarea que me pide:

Dar un ejemplo de un conjunto abierto $\mathcal{A}$ tal que $\mathcal{A}\supset\mathbb{Q}$ pero $\mathbb{R}-\mathcal{A}$ es no numerable.

Mi intento: Primero vamos a $\mathcal{A} = \bigcup(r_n-1/2^n,r_n+1/2^n)$ donde $r_n$ $n$- th racional, es una unión de bloques abiertos para $\mathbb{R}-\mathcal{A}$ es cerrado. Tengo razones para creer que este juego tambien es no numerable (como se ve aquí: Innumerables cerrado conjunto de los números irracionales , pero no tengo experiencia en teoría de la medida, es que hay otra manera de probar que es un no-denumerability? Es que la respuesta?

Por favor, disculpe mi mal inglés, gracias.

Answer 1

La suma de las medidas de estos conjuntos es $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1 {2^{n-1}} = 2$. Por lo tanto la medida de su complemento es $\infty$. Que la medida del complemento es positiva es suficiente para implicar que el complemento es incontable.

Answer 2

Para una medida de la teoría de la prueba se puede construir un conjunto de Cantor no contiene racionales y, a continuación, tomar su complemento. He aquí un bosquejo de cómo hacerlo:

Empezar con un intervalo de $[a,b]$ $a,b$ irracional. Deje $\{q_n\}$ ser una enumeración de los racionales en este intervalo. Ahora quite de$[a,b]$, un intervalo de $(c,d)$ con extremos irracionales que contengan $q_1$. Ahora, retire abrir intervalos con extremos irracionales de los dos restantes cerrado intervalos, de forma que $q_2$ ya no está en el conjunto, y así sucesivamente.

El resultado es un conjunto cerrado evitando todo número racional que tiene cardinalidad igual a la de la continuidad (lo que es equivalente, para el conjunto de todas las infinitas secuencias binarias). La prueba de que el Cantor conjuntos de cardinalidad del continuo es muy similar a la prueba de que la norma ternario de Cantor conjunto consta de todos los números con sólo el 0 y el 2 en su ternario de expansión (O ya que es un conjunto perfecto de la categoría de Baire teorema de la muestra que es incontable).