Recálculo de la suma exponencial cuando cambia el exponente

Question

Si $A_c$ puede calcularse del siguiente modo:

$A_c=\sum_{k=1}^{N} a_ke^{ck}$

Donde c es una constante real conocida y $a_k$ es una serie conocida que comprende números reales que no pueden describirse mediante una función $f(k)$ (como mediciones ruidosas).

Si $c$ ahora es $d$ ¿hay alguna forma de calcular $A_d$ sin tener que reevaluar la suma de k = 1 a N?

$A_d=\sum_{k=1}^{N} a_ke^{dk}$

es decir, puede $A_d$ expresarse como una función $f(A_c,c,d,N)$ .

Creo que esto significaría separar de alguna manera los coeficientes del término exponencial lo que la suma por partes puede hacer pero no estoy seguro de poder hacerlo ya que en mi caso $a_k$ no se da como una función que se pueda diferenciar.

Answer 1

Desde $$ {\bf a} = \left( {a_{\,1} ,a_2 , \cdots ,a_N } \right) $$ es un vector desconocido de $N$ dimensiones, y ya que como usted dice no conoces ninguna relación entre sus componentes, entonces tiene $N$ grados de libertad.

Por otro lado, $e^{c_1 k}={e^c_1}^k={x_1}^k$ es un vector N, y $N$ de ellos son independientes y formarán una matriz de Vandermonde.

Así que no se puede decir nada acerca de la relación entre el producto punto de $\bf a$ con dos vectores base, a menos que que sepas $N$ de ellos.

Para decirlo de forma más intuitiva (a raíz de tu comentario):
Puesto que usted sabe $\bf a$ es decir, sus componentes en el sistema base, una vez que hay que hacer el producto punto de $\bf a$ con $(0,\cdots,1,0,\cdots)$ no tienes que hacer muchos cálculos complicados, sólo tienes que elegir el valor de $a_k$ de su mesa.
Lo mismo si tienes que multiplicar $\bf a$ con una combinación lineal de "pocos" de los vectores base, ya que el producto punto es lineal.

Ahora, ya sabes $A_c= \bf a \cdot \bf c$ con $\bf c = (\cdots, e^{ck},\cdots)$ .

Así que tu pregunta equivale a: ¿Es $\bf d = (\cdots, e^{dk},\cdots)$ expresable mediante una combinación lineal de $\bf c$ más un "pocos" ¿otros vectores de base?
y la respuesta es clara.

Answer 2

Dado que tu suma es una transformada discreta de Fourier, la capacidad de hacer lo que quieras para un vector arbitrario $(a_k)$ más eficiente implicaría una dependencia funcional que diría que el vector tiene un espectro redundante. Esto no puede hacerse debido a argumentos de dimensión.

Si el $c,d$ fueran enteros, se podría pensar en truncar el árbol de mariposas de la FFT a uno que sólo necesitara calcular dos coeficientes a la salida, pero esto seguiría sin suponer un ahorro significativo, ya que $n$ aumentado, amotisado sobre el número de coeficientes necesarios.

Answer 3

$$\sum_{k=1}^{N} a_k(e^c)^k$$ es un polinomio en $e^c$ que se calcula eficientemente usando el esquema de Horner.

Que yo sepa, ningún método de interpolación puede ser más rápido.