Derivada de una función de dos variables

Question

Si tengo una función de 2 variables $f(r,\theta)$ y quiero encontrar la derivada de ella con respecto a $\theta$ para que $\frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta}=kf(r,\theta)$ donde $k$ es una constante, ¿la función debe ser un producto de $g(r)h(\theta)$ ?

Answer 1

La respuesta es SÍ. Compute $\frac {\partial} {\partial \theta} \frac {f(r,\theta)} {f(1,\theta)}$ utilizando la regla del cociente. Se obtiene $0$ ¡! Por lo tanto, $\frac {f(r,\theta)} {f(1,\theta)}$ es función de $r$ solo. Llámalo $h(r)$ . Ahora tienes $f(r,\theta)=h(r)f(1,\theta)$ .

Nota: Podemos sustituir $f(1,\theta)$ por $f(r_0,\theta)$ en la prueba. La única suposición que necesitamos es que $f(r_0,\theta)$ no desaparece en ningún lugar por algún $r_0$ .