¿Depende de la gravedad el sesgo de un dado cargado?

Question

Supongamos que sesgo un dado cúbico de plástico incorporando una bolita de plomo oculta justo detrás de la cara "1", de forma que la probabilidad $P_6$ de sacar un 6 es mayor que el simétrico 1/6. Su comportamiento exacto cuando lo lance será complicado, el tensor de inercia no diagonal afectará al giro, y la cinética de rebote y caída sobre la mesa (suponiendo que caiga sobre una mesa) también cambiará. Así que no pidamos una solución completa y planteemos en su lugar una pregunta sencilla: ¿depende el resultado de la gravedad? ¿Será $P_6$ ser el mismo en la tierra y en la luna?

Answer 1

El trabajo de investigación experimental "Cuboidal Dice and Gibbs Distributions" de Wolfgang Riemer, Dietrich Stoyan y Danail Obreschkow, ( enlace aquí ) indica que cuando se rompe la simetría (en su caso, porque la forma del dado deja de ser exactamente cúbica), incluso las cualidades de la superficie sobre la que cae el dado afectan a la distribución de probabilidad de los resultados. Por lo tanto, parece muy probable que en cualquier situación práctica, la fuerza de la gravedad también sea un factor, ya que afectaría a la fuerza de la interacción entre el dado y la superficie.

Answer 2

Editado reconocer las realidades que hacen probable que $P_6$ depende de $g$ hasta cierto punto. Con la nueva respuesta y la discusión en los comentarios, esta respuesta se ha transformado en una discusión sobre algunas razones por las que uno podría pensar $P_6$ es débilmente invariante, y algunas excepciones a esos argumentos.

Argumento 1

En ciertos modelos del entorno, el movimiento de los dados será el mismo entre los dos planetas al reescalar el tiempo. Hay dos excepciones a este hecho.

• En primer lugar, tienes que dejar caer los dados de una forma determinada, como desde una altura y un ángulo aleatorios en reposo, de lo contrario las condiciones iniciales no se reescalan de la misma forma. Pero la idea de que $P_6$ puede depender de cómo lances los dados es un poco antitético con todo el concepto de los dados. Evidentemente, hay que lanzar los dados con suficiente energía como para que el caos borre el efecto de las condiciones iniciales.
• En segundo lugar, y lo que es más importante, cuando el dado rebota en el suelo, hay más fuerzas que la gravedad. La más notable es la fricción. Los "rebotes" permanecerán invariables en su mayor parte si se asume un modelo en el que se pierde una fracción fija de energía en un rebote (un modelo empírico bien conocido para las pelotas que rebotan). La fricción es otra interacción superficial que se reescalará adecuadamente (las fuerzas se escalan $\propto g$ como la fuerza de la gravedad). Pero probablemente hay muchos tipos de interacciones superficiales que no se reescalan correctamente. Otra respuesta señala (con una referencia) que cambiar la superficie de rebote sí cambia $P_6$ .

Argumento 2

Considere un dado de 4 caras (cuadrado) en un universo 2d, y piense en "tirar un dado" como un sistema mecánico estadístico en el ángulo del dado y la altura a la que el dado se encuentra del suelo.

A medida que se lanza el dado, la temperatura desciende con el tiempo. El potencial de un dado sesgado en función del ángulo a un valor fijo de $h$ se ve así:

Así que cuando la temperatura desciende por debajo de $T_0=v_0/k_B$ el dado elige en qué pozo potencial caerá permanentemente, y la relación de probabilidades $P_4/P_1$ (dados de cuatro caras sesgadas a la tierra en $4$ ) es $\sim \exp(\delta/k_BT_0)=\exp(\delta/v_0)$ . Cuando cambiamos la fuerza de gravedad, ambos $\delta$ y $v_0$ se escalan de la misma manera (ambos son proporcionales a $g$ ), por lo que esta relación de probabilidad debería permanecer invariable.

Obviamente, este argumento no es riguroso - no está claro que este sistema se pueda analizar con mecánica estadística, ni que esta forma de tratar "en qué pozo potencial caemos a medida que baja la temperatura" sea realmente válida. Pero creo que para la derivación de cómo $P_6/P_1-1$ escalas con la diferencia de potencial entre lados y $g$ es válido. Así que creo que este argumento es válido para argumentar que $P_6$ es al menos débilmente independiente de $g$ .

Hay una excepción obvia a este argumento, que vuelve a sostener que $g$ probablemente no importe, pero la superficie de rebote probablemente sí. Al cambiar la superficie de rebote, puede cambiar la velocidad a la que baja la temperatura. Pensemos, por ejemplo, en una superficie que rebote menos y haga que la temperatura descienda más rápidamente. Esto puede reducir la temperatura efectiva a la que se decide el destino del dado, aumentando $P_6$ .

Argumento 3

Esto es una broma... ¿o no? $P_6$ no tiene unidades y $g$ tiene unidades de distancia por tiempo al cuadrado. Los dados pueden ser descritos por muchas cantidades diferentes: masa total, un campo de densidad $\rho(\mathbf{x})$ el tensor del momento de inercia $I_{ij}$ . Pero no existe ninguna cantidad para describir los dados que incluya alguna dimensión del tiempo. Por tanto, ninguna cantidad sin unidades puede escribirse en términos de $g$ y propiedades de los dados, por lo que $P_6$ no puede depender de $g$ . Así que si $P_6$ es una propiedad intrínseca del dado, y no se ve afectada por la superficie de rebote (que lo es), no cambiará. Si añadimos la superficie de rebote, por ejemplo, obtendremos la velocidad del sonido en la superficie de rebote, que es independiente de $g$ y tiene unidades de distancia/tiempo. Otras pequeñas correcciones al movimiento del dado, como la resistencia del aire, también proporcionan varias cantidades con unidades que implican tiempo. Hasta cierto punto, esto explica por qué los argumentos 1 y 2 obtuvieron la respuesta que obtuvieron: no podrían haber obtenido ninguna otra respuesta hasta que empiezas a considerar cosas que afectan a la tirada de dados de forma bastante sutil.

Answer 3

Vamos a modelar el lanzamiento donde la orientación inicial es aleatoria (otras cosas también son aleatorias, pero esta la necesitaré)

Empecemos con la situación en la que la atmósfera alrededor del dado tiene una viscosidad alta y tenemos una gravedad baja.

En el caso en que la viscosidad tienda a infinito, debido a la fricción el dado dejará de girar, durante su caída, con el "6" arriba, siempre.

Sin embargo, si aumentamos la gravedad (y no tenemos una viscosidad infinita), a partir de esta configuración, llegamos a una situación en la que el dado no tiene tiempo de asentarse con el "6" encima, porque el dado chocará rápidamente contra el suelo. (ok, rebotará, pero se asentará más rápido)

Así, a viscosidad alta, mayor gravedad significa menor sesgo hacia "6".

Con una viscosidad regular, el efecto será menor, pero mi hipótesis es que seguirá habiendo un efecto en el que una mayor gravedad debilita el sesgo.

Answer 4

Las probabilidades de que se produzcan caras del dado no son una propiedad exclusiva del dado y de la fuerza de gravedad, sino que también dependen de la altura inicial, la velocidad y la velocidad angular del lanzamiento. Se supone que la orientación angular inicial de la matriz es desconocida con una distribución uniforme.

Supongamos sólo lanzamientos con velocidad angular inicial cero, y velocidad vertical cero.

Cuando se lanza desde una gran altura y con una velocidad cercana a cero, el movimiento será principalmente vertical. Cuando se lanza cerca de la mesa con una gran velocidad horizontal, el movimiento será mayoritariamente horizontal. Estas dos clases de lanzamiento conducen a movimientos diferentes y, por lo tanto, pueden tener diferentes probabilidades de resultados. Cambiar cualquiera de estos parámetros de lanzamiento puede cambiar las probabilidades de las caras del dado.

Sin embargo, si cambiamos la especificación del lanzamiento no sólo en gravedad sino también en otros parámetros de tal manera que la trayectoria del dado en cualquier lanzamiento sea la misma, entonces podemos esperar que ambos tipos de lanzamiento tengan las mismas probabilidades.

Si nos limitamos a lanzar horizontalmente desde la misma altura, esto significa que podemos conseguir las mismas trayectorias y, por tanto, las mismas probabilidades si con cambiar la gravedad en un factor $k$ cambiamos también la velocidad horizontal inicial en un factor de $\sqrt{k}$ . De esta manera, el dado se mueve a lo largo de la misma trayectoria, sólo que con $k$ -veces mayor aceleración del centro de masa y ángulo de orientación. Después de un tiempo suficiente, el ángulo de orientación en cualquier lanzamiento en la gravedad aumentada debería ser el mismo que en la gravedad original. Por lo tanto, las probabilidades deberían ser las mismas.

Answer 5

Me gusta la respuesta de Jeffrey, pero creo que podemos simplificarla aún más. Supongamos que imaginamos una varilla de grosor/densidad uniforme. La hacemos girar sobre su centro y la dejamos caer, y preguntamos: "¿Qué lado tocará primero el suelo?". Si la varilla es "justa", $P_0$ debe ser 0,5.

Pero supongamos que en lugar de eso fijamos un peso a un extremo (el $P_0$ final) para que esté sesgada. ¿Qué hará la caña al girar? Para simplificar, hagamos que el peso sea 100 veces la masa de la varilla original. Ahora gira básicamente alrededor del extremo lastrado (porque es donde está el COM, más o menos), y la propia varilla se convierte en una "cola".

En el límite de un tiempo de caída infinito, y sin fricción, $P_0$ debería seguir siendo 0,5. Si introducimos la resistencia del aire, en el límite de un tiempo de caída infinito, la varilla aterrizará en el lado ponderado con probabilidad 1,0. Esto se debe a que la resistencia de la varilla reducirá la velocidad angular a 0. Pero como la resistencia del aire es equivalente a un viento que sopla desde el suelo, la orientación final será con la varilla apuntando hacia arriba.

Algún tiempo entre $t_0$ y $\infty$ la probabilidad de $P_0$ pasa de 0,5 a 1,0, ya que la resistencia del aire convierte la incertidumbre de la posición angular inicial + momento en un resultado cierto. Llamemos $t_{win}$ el tiempo que tarda $P_0$ sea > 0,99.

Dado que la resistencia del aire determina la rapidez con que la velocidad angular llega a 0, podríamos decir que el resultado depende sobre todo de la densidad/viscosidad del aire y de la $c_{drag}$ de la varilla. Entonces, ¿dónde entra la gravedad?

Bien, $t_{win}$ por sí sola no nos dice todo lo que queremos saber. Por ejemplo, no nos dice desde qué altura tenemos que caer para obtener el resultado deseado. Para conseguirlo, necesitamos saber $g$ .

Y así, vemos que $P_0$ depende de la resistencia, la velocidad angular inicial y la altura de la gota. Si aumenta $g$ debe aumentar $h$ para lograr lo mismo $P_0$ . O, si aumenta $g$ pero aguanta $h$ fijado, entonces $P_0$ disminuye.

Sin embargo, empezamos a hablar de una varilla. Volvamos al troquel. Es mucho menos obvio que la resistencia del aire sea tan significativa en este caso. Pero el principio básico es el mismo: el resultado se decide sólo cuando la velocidad angular llega a cero. Cuando el dado rebota en la superficie, si la superficie (y el dado) son perfectamente elásticos, y no hay resistencia del aire, entonces el dado rebotará para siempre, lo que equivale al caso de caída libre infinita. Si sólo hay resistencia del aire, entonces $c_{drag}$ determinará el tiempo de relajación junto con la altura (porque el arrastre hará que cada rebote sea menor). Una superficie no elástica debería ser equivalente a una resistencia mucho mayor, en el sentido de que disminuirá el tiempo de relajación.

Así, el argumento a favor de $t_{win}$ vs. $P_0$ vs. $g$ debe transferirse directamente al escenario del dado. $P_0$ depende de $g$ porque $g$ ayuda a determinar la altura a la que $P_0$ supera el umbral que quieras.

En el límite en que $g$ va a $\infty$ El resultado dependerá únicamente de la orientación del dado en el momento de soltarlo. Si el echa es justo, entonces $P_0$ será $1/6$ . En caso no patológico $g$ puede hacer $P_0$ acercarse arbitrariamente a 1 simplemente aumentando la altura del lanzamiento, y $g$ ayudará a determinar esa altura.