función de masa de probabilidad de dos variables aleatorias independientes

Question

Sean X e y variables aleatorias independientes que sólo toman valores enteros. Sea Z=X+Y, que también toma sólo valores enteros. Su función de masa de probabilidad puede calcularse mediante la fórmula de convolución: para cualquier número entero z,

$P_Z(z)=P(Z=z)=P(X+Y=z)$ $=\sum_{x=-\infty}^{\infty} P(X=x, X+Y=z) \tag1$ $=\sum_{x=-\infty}^{\infty} P(P(X=x,Y=z-x) \tag2$ $=\sum_{x=-\infty}^{\infty} P(P(X=x)*P(Y=z-x) \tag3$ $=\sum_{x=-\infty}^{\infty} p_X(x)P_Y(z-x) \tag4$

Pregunta 1: Explique por qué se cumplen los pasos 1,2 y 3.

¿Es porque X e Y son independientes y por tanto no hay solapamiento?

Answer 1

Sus expresiones $\mathbb P(\mathbb P(\cdot)$ no tienen sentido porque una medida de probabilidad asigna un número real entre $0$ y $1$ a un suceso, por lo que no se puede iterar (ya que no se puede asignar una probabilidad a un número). La expresión para $\mathbb P(Z=n)$ debería ser algo como \begin{align} \mathbb P(Z=n) &= \mathbb P(X+Y=n)\\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb P(X=k, X+Y=n)\\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb P(X=k, Y = n-k)\\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty \mathbb P(X=k)\mathbb P(Y=n-k). \end{align} Estas igualdades son válidas debido a la independencia de $X$ y $Y$ Por lo tanto $$ \{X=k\}\cap\{X+Y=n\} = \{X=k\}\cap\{Y=n-k\}.\tag1 $$ Los acontecimientos de $(1)$ son disjuntos, por lo que sumando sus probabilidades sobre el soporte de $X$ da el resultado correcto.

Answer 2

(1) suma sucesos disjuntos que satisfacen $X+Y=z$ ; (2) replantea las condiciones cuyas probabilidades se suman; (3) utiliza la independencia.