Cómo integrar $U(1)$ en un grupo mayor, utilizando diagramas de Dynkin

Question

Estoy tratando de encontrar la incrustación y las reglas de ramificación para algunas descomposiciones de grupos. Por ejemplo, considero $E_7$ y su subgrupo maximalmente compacto $SU(8)$ y quiero "ver" cómo el diagrama de Dynkin de $E_7$ se modifica para obtener $A_7$ . Traté de tomar una combinación lineal de raíces para producir $A_7$ . Y también siguiendo otras preguntas analógicas, con esto no tengo (casi) problemas.

El problema es que para una incrustación como $SU(8)⊃SU(6)×U(1)$ . ¿Cómo lo consigo? Como todos podéis imaginar, mis dudas surgen cuando la incrustación implica subgrupos abelianos, que no soy capaz de ver a partir de diagramas de Dynkin.

Todas estas cuestiones proceden del cálculo de grupos centralizadores. Por ejemplo, quiero que el grupo centralizador $\mathcal{C}_{E_7}(SU(3))$ de $SU(3)_{\mathrm{diag}} \subset SU(3) \times SU(3) \subset SU(6) \subset SU(8) \subset E_7$ . Sé que es $$\mathcal{C}_{E_7}(SU(3)) = SU(3) \times SU(2)$$ pero no tengo un procedimiento para conseguir algo que implique $U(1)$ factores.

Answer 1

"Quiero ver cómo se modifica el diagrama de Dynkin de E7 para obtener A7":

Toma $E_7$ :

$\bullet -\bullet -\bullet -\stackrel{\stackrel{\textstyle\bullet}{\textstyle |}}{\bullet} -\bullet -\bullet$

Añade la raíz negativa más baja (estas raíces ya no son linealmente independientes):

$\bullet -\bullet -\bullet -\stackrel{\stackrel{\textstyle\bullet}{\textstyle |}}{\bullet} -\bullet -\bullet -\bullet$

Retire la raíz superior para obtener otra base de $\mathfrak t^*$ :

$\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet$