Los vectores más que abarcan $\Bbb R^3$ . Como son 4, no son linealmente independientes y la acción sobre 3 de ellos determinará la acción sobre el 4º. Pero esto es cierto para cualquier operador. $SO(3)$ satisface restricciones adicionales que pueden utilizarse para encontrar al operador con aún menos información.
Empiece por examinar lo que ocurre para $\Bbb R^3$ . $SO(3)$ es el conjunto de rotaciones, y todas las rotaciones giran alrededor de algún eje. Todos los vectores rotados no cambian su ángulo con respecto a este eje, por lo tanto dado que el vector $a$ se rota al vector $b$ (así $\|a\| = \|b\|$ ), el eje de rotación debe formar el mismo ángulo con ambos. El conjunto de todos estos ejes se encuentra en un plano que pasa por su suma $a + b$ y su producto cruzado $a \times b$ . Una normal a ese plano viene dada por $$(a + b) \times (a \times b) = (b\cdot(b - a))a + (a\cdot(a -b))b$$ Cualquier línea que pase por el origen y sea perpendicular a este vector es el eje de una rotación que lleve $a$ a $b$ . Teniendo en cuenta el eje de rotación utilizado, $a$ y $b$ determinar el ángulo y el sentido de giro.
Por tanto, un único vector no bastará para determinar completamente la rotación. Supongamos que también sabemos que $c$ gira a $d$ . Una vez más, esto determina otro plano cuyas líneas que pasan por el origen pueden ser también un eje de rotación. Suponiendo que el plano no sea el mismo que para $a$ y $b$ los dos planos se cruzarán en una línea, que debe ser el eje de rotación. Una vez identificado el eje, se puede escribir $a = a_\| + a_\perp, b = b_\| + b_\perp$ donde $a_\|, b_\|$ son paralelas al eje y $a_\perp, b_\perp$ son perpendiculares. Entonces $\frac {\|a_\perp \times b_\perp\|}{\|a_\perp\|\|b_\perp\|}$ será el seno del ángulo de rotación. Por supuesto $c$ y $d$ deben determinar el mismo ángulo de rotación, o de lo contrario no existe tal rotación.
Así pues -salvo en casos degenerados- el destino de dos vectores bajo el operador es suficiente para especificar qué elemento de $SO(3)$ lo es.
Entonces, ¿qué ocurre para $\Bbb {R}P^2$ ? La única diferencia es que en lugar de saber que $a \mapsto b, c \mapsto d$ sabes que $\pm a \mapsto \pm b, \pm c \mapsto \pm d$ . Así que $a$ gira a $b$ o gira a $-b$ . Y o bien $c$ gira a $d$ o gira a $-d$ . Esto nos da 4 posibles candidatos para el operador de rotación. $$(a\mapsto b, c\mapsto d)\\(a\mapsto b, c\mapsto -d)\\(a\mapsto -b, c\mapsto d)\\(a\mapsto -b, c\mapsto -d)$$
Pero, de nuevo, excepto cuando $a_\perp \perp b\perp$ los ángulos que $a_\perp$ hace con $b_\perp$ y $-b_\perp$ no será la misma. Y lo mismo para $c_\perp$ y $d_\perp$ . De los 4 casos, dos intentarán hacer coincidir ángulo por $a_\perp$ a $\pm b_\perp$ con el otro ángulo para $c_\perp$ a $\pm d_\perp$ que no tendrá solución.
Así que dado el destino de 2 puntos de $\Bbb RP^2$ bajo la acción de un operador en $SO(3)$ excepto en casos degenerados, se puede determinar qué operador hasta ser una de dos opciones.
El destino de un 3er punto, salvo degeneración, sería más que suficiente para saber cuál de los dos operadores se ha utilizado.
