Prueba de que $\ln(n+1) \leq \ln(n)+1$

Question

Tengo que demostrar que $\ln(n+1) \leq \ln(n)+1$ en los Números Naturales empezando por 1.

Intenté usar la inducción.

Base de inducción: $\ln(2)\leq \ln(1)+1$ así que está bien

Paso de inducción

$\ln(n+2)$ Aquí estoy realmente luchando para averiguar cómo utilizar mi Hipótesis de Inducción. ¿Puedo obtener alguna pista?

Answer 1

Pista: $ln(x+1)=ln(x(1+1/x))=ln(x)+ln(1+1/x)$ .

Answer 2

Pista: $\ln(x)+1=\ln(x)+\ln(e)=\ln(ex)$ .

Answer 3

$\ln(n+1)-\ln(n)=\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac 1n)\le\ln(2)\le 1$

Answer 4

Sea $f(x) = 1 + \log x - \log(1+x)$ . Entonces $f(1) = 1 - \log 2 = \log e - \log 2 > 0$ . Desde $$ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1}{x(x+1)} > 0 $$ $f$ está aumentando. Por lo tanto, $f(x) > 0$ para todos $x \ge 1$ lo que implica $$ \log(1+x) < 1 + \log x.$$

Answer 5

Les es equivalente a lo siguiente:

$$\ln(n+1) \leq \ln(n)+1 \iff e^{ln(n+1)}\leq e^{\ln(n)+1 }\iff n+1\leq n \cdot e$$

NOTA es cierto puesto que $e^x$ es una función monótona creciente

PRUEBA POR INDUCCIÓN

Caso base: $$n=1 \implies 2\leq e $$

Paso inductivo:

supongamos que es cierto para $n$ : $$n+1\leq n \cdot e$$

queremos demostrarlo: $$n+1\leq n \cdot e \implies (n+1)+1\leq (n+1) \cdot e$$

y es verdad:

$$(n+1)+1 \stackrel{\text{inductive hypothesis}}\leq ne+1\leq ne+e=(n+1)\cdot e$$