Demostración de que una transformación lineal es inyectiva si su espacio nulo es trivial

Question

Supongamos que $T : \Bbb R^n \to \Bbb R^m$ es una transformación lineal. Demuestra que $T$ i si $N(T) = \{0\}$ .

Así que sé que si algo es inyectivo tiene un mapeo uno a uno y si $T(X)=T(X')$ entonces $X=X'$ .

Al principio pensé que como $N(T)=\{x \in \Bbb R \mid T(x)=0\}$ Podría multiplicar ambos lados por $T^{-1}$ pero como va de $\Bbb R^n$ a $\Bbb R^m$ no es una matriz cuadrada por lo que no puede tener una inversa por lo que estoy atascado. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Desde $T^{-1}$ no existe necesariamente, ese no va a ser el enfoque correcto. Tendremos que usar sólo las propiedades que conocemos, como las definiciones de inyectividad y espacio nulo.

"Sólo si":

Sea $T: \Bbb R^n \to \Bbb R^m$ sea una transformación lineal inyectiva. Entonces $T(x) = T(y) \implies x=y$ . Sea $a\in N(T)$ . Entonces $$T(a) = 0 = T(0) \implies a = 0$$ Así $N(T) = \{0\}$ .

"Si:"

Sea $T: \Bbb R^n \to \Bbb R^m$ sea una transformación lineal tal que $N(T) = \{0\}$ . Sea $a,b\in\Bbb R^n$ tal que $T(a) = T(b)$ . Entonces $$T(a) - T(b) = 0 \implies T(a-b) = 0 \stackrel{(*)}\implies a-b = 0 \implies a = b$$

donde $(*)$ se debe a que el único vector que mapea a $0$ en $T$ est $0$ . Así $T$ es inyectiva. $\ \ \ \square$