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Demostración de que una transformación lineal es inyectiva si su espacio nulo es trivial

Supongamos que T:RnRm es una transformación lineal. Demuestra que T i si N(T)={0} .

Así que sé que si algo es inyectivo tiene un mapeo uno a uno y si T(X)=T(X) entonces X=X .

Al principio pensé que como N(T)={xRT(x)=0} Podría multiplicar ambos lados por T1 pero como va de Rn a Rm no es una matriz cuadrada por lo que no puede tener una inversa por lo que estoy atascado. ¿Alguien tiene alguna idea?

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Bye_World Puntos 9260

Desde T1 no existe necesariamente, ese no va a ser el enfoque correcto. Tendremos que usar sólo las propiedades que conocemos, como las definiciones de inyectividad y espacio nulo.

"Sólo si":

Sea T:RnRm sea una transformación lineal inyectiva. Entonces T(x)=T(y)x=y . Sea aN(T) . Entonces T(a)=0=T(0)a=0 Así N(T) = \{0\} .

"Si:"

Sea T: \Bbb R^n \to \Bbb R^m sea una transformación lineal tal que N(T) = \{0\} . Sea a,b\in\Bbb R^n tal que T(a) = T(b) . Entonces T(a) - T(b) = 0 \implies T(a-b) = 0 \stackrel{(*)}\implies a-b = 0 \implies a = b

donde (*) se debe a que el único vector que mapea a 0 en T est 0 . Así T es inyectiva. \ \ \ \square

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