¿Existe algún teorema como el teorema de la función implícita en $\mathbb{Q}$ ?

Question

Mi pregunta es esa, ¿hay algún teorema como el teorema de la función implícita en $\mathbb{Q}$ ?

Más concretamente, dejemos que $p(\bar{x},\bar{y})$ estar en $\mathbb{Z}[\bar{x},\bar{y}]$ tal que en $\mathbb{Q}$ para cualquier $\bar{a}$ existe una solución de $p(\bar{x},\bar{a})$ . Entonces para algún polinomio(o polinomio racional) $q(\bar{y})$ con $\mathbb{Q}$ coeficientes, $p(q(\bar{y}),\bar{y})=0$ se cumple en los campos de polinomios racionales sobre $\mathbb{Q}$ .

Por ejemplo, $x^2+y^2=1$ no cumple la condición pero para $x+y=0$ se mantiene.

¿Y qué tal la misma pregunta en campo p-ádico $\mathbb{Q}_{p}$ ?

Answer 1

Esto es lo que creo que pasa $\mathbb{Q}$ . Escribe tu polinomio $P(X,Y)$ como producto de polinomios irreducibles $P_i(X,Y)$ . Teorema de irreducibilidad de Hilbert ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_irreducibility_theorem ) te dice que hay infinitas $a$ tal que $P_i(X,a)$ es irreducible para cada $i$ . Si una de ellas tiene solución, es por tanto de grado $1$ en $X$ . Algunos $P_i$ es, por tanto, de grado $1$ en $X$ que responde a su pregunta.

EDIT: no responde a la pregunta sino que demuestra que hay algún polinomio $Q$ tal que $P(Q(Y),Y)=0$ que es más razonable, ya que entonces $P(Q(a)),a)=0$ . Esta debería haber sido la pregunta.

Answer 2

La misma pregunta en $\mathbb Q_p$ es falso. Por ejemplo, si $p \neq 2$ , dejemos que $\alpha \in \mu_{p-1}$ sea una raíz primitiva de la unidad. Entonces $(x^2-y)(x^2-py)(x^2-\alpha y)(x^2-p \alpha y)$ tiene una solución para cada $y$ pero no se puede hacer que esa solución sea un polinomio en $y$ .

Answer 3

Busca el lema de Hensel. Por ejemplo, en la forma siguiente ( $K$ es un campo, sin más suposiciones):

Sea $f \in K[[X]][Y]$ sea mónico y tal que $f(0,Y)=p(Y)q(Y)$ donde $p(Y),q(Y) \in K[Y]$ son relativamente primos y no constantes, de grados respectivamente $r$ y $s$ . Entonces existen dos polinomios unívocamente determinados $g,h \in K[[X]][Y]$ de grados respectivamente $r$ y $s$ tal que $f=gh$ con $g(0,Y)=p(Y)$ y $h(0,Y)=q(Y)$ .

(según Hefez, Abramo: Irreducible plane curve singularities. Real and complex singularities, 1-120, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 232, Dekker, Nueva York, 2003)

Más información $p$ -de la Comisión, puede consultarse aquí:

Una forma desconocida (para mí) del Lemma de Hensel

(especialmente la respuesta de Wanderer).