Módulos de un grupo sobre diferentes campos.

Question

Sea $G$ sea el grupo cíclico de orden 2 y sea $V$ sea la regular $\mathbb{F}G$ -módulo de $G$ . Determinar el $\mathbb{F}G$ -submódulos de $V$ donde $\mathbb{F}$ tiene cada una característica cero o positiva.

Observación: El álgebra de grupo $\mathbb{F}G$ y el subespacio trivial $\{0\}$ son claramente dos submódulos de $\mathbb{F}G$ . Así pues, hay que encontrar (si los hay) todos los submódulos unidimensionales.

Sea $\lambda,\mu \in \mathbb{F}$ no ambos cero tal que $W:=\langle \lambda a+ \mu 1 \rangle$ es un submódulo de $\mathbb{F}G$ . Por $(\lambda a+\mu 1)a=\mu a+\lambda \in W$ para obtener la existencia de un $k \in \mathbb{F}$ tal que $\mu a+\lambda 1=k(\lambda a+\mu 1) $ . Obseve que $\mu, \lambda,k$ son todas distintas de cero (ya que una es cero implicaría que las otras dos son cero), por lo que $k=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{\mu}{\lambda}$ imples $k^2=\mu^2$ por lo que $\lambda=\mu$ o $\lambda=-\mu$

Ahora bien, si $char(\mathbb{F})=0$ entonces $W$ puede ser $\langle a+1 \rangle$ o $\langle a-1 \rangle$ .

Por otra parte, si $char(\mathbb{F})=p$ para algún primo $p$ entonces $\lambda=tp-\mu$ o $\lambda=tp+\mu$ para cualquier $t \in \mathbb{Z}$ la correspondiente $W$ es así $\langle \lambda a+(tp-\lambda) 1\rangle$ o $\langle a-(tp-\lambda) 1 \rangle$ .

¿Implica lo anterior la $\mathbb{F}G$ son independientes de $char(\mathbb{F})$ ? Puesto que en el $char(\mathbb{F})>0$ caso uno tiene $tp=0,\forall k \in \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Pues no. En tu ejemplo, cuando $V$ es el $FG$ -módulo para $G$ cíclico de orden $2,$ el número de submódulos propios distintos de cero es diferente. Si $G = \langle g \rangle$ entonces cuando $F$ tiene característica cero ( o cualquier característica distinta de $2$ ), existen dos submódulos propios distintos de cero, el $1$ -de $g$ y el $-1$ -de $g$ . Cuando $F$ tiene la característica $2$ cualquier submódulo propio distinto de cero de $V$ debe ser $1$ -por lo que debe estar contenido en un eigespacio de $g$ y de hecho debe ser el $1$ -de $g$ ya que $(g-I)^{2} = 0$ y el $1$ -de $g$ es sólo $1$ -dimensional. Por lo tanto, en este caso, $V$ tiene un único submódulo propio distinto de cero.