La inclusión canónica $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q} \hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech de $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ . Aun así, esto no significa necesariamente que $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})$ y $\beta\mathbb{Q}$ no son homeomórficos, sólo que este mapa en particular no funciona para esta compactificación, por lo que podrían ser homeomórficos menos "canónicamente". Por ejemplo, $\beta(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cong \beta\mathbb{Q}$ pero el mapa $\mathbb{Q}\setminus\{0\}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech de $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ aunque sea una incrustación densa en un espacio compacto homeomorfo a $\beta(\mathbb{Q}\setminus\{0\})$ .
He intentado buscar en Internet algunas propiedades de $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ que excluiría un homeomorfismo, aunque buscando sólo he podido encontrar propiedades que tiene en común con $\mathbb{Q}$ con excepción de la homogeneidad (aunque no creo que esta propiedad en particular tenga mucha importancia). Por ejemplo, $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ es de dimensión cero, no está desconectada en los extremos.
Como en el título, es $\beta\mathbb{Q}\cong \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q})$ ?
Edita: Por sugerencia de @R. van Dobben de Bruyn's comentario He comprobado las cardinalidades de ambos espacios. En el artículo " La compactificación Stone-Cech del mundo racional " de M. P. Stannett se demuestra que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ es separable, por lo que $$\lvert\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\rvert \leq 2^{2^{d(\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}))}} \leq 2^{2^{d(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})}} = 2^\mathfrak{c}$$ mientras que la inclusión $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ induce una suryección $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\to \beta\mathbb{Q}$ Así pues $$\lvert\beta\mathbb{Q}\rvert = \lvert\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\rvert = 2^\mathfrak{c}.$$ Esto demuestra en particular que no hay ningún problema con la cardinalidad. Creo que intentarlo con el peso daría resultados similares, aunque no lo he comprobado.
Edición 2: Aquí está la prueba de mi afirmación de que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech del espacio $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ . Tenga en cuenta que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ es denso en $\beta\mathbb{Q}$ desde $\mathbb{Q}$ no es localmente compacta en ninguna parte. El espacio $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ no es $C^*$ -integrado en $\beta\mathbb{Q}$ la descomposición $$\beta\mathbb{Q}\setminus \{0\} = (\overline{\mathbb{Q}}_+\setminus\{0\}) \cup (\overline{\mathbb{Q}}_-\setminus \{0\})$$ de $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ donde $\mathbb{Q}_+ = (0, \infty)\cap\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}_- = (-\infty, 0)\cap \mathbb{Q}$ en dos conjuntos cerrados disjuntos en $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ muestra que $\DeclareMathOperator\sgn{sgn}\sgn:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ puede ampliarse continuamente a $\sgn^*:\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ pero claramente no a la totalidad de $\beta\mathbb{Q}$ . Si la función $\sgn^*\restriction_{\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}}$ se extendieran continuamente a $\beta\mathbb{Q}$ la extensión tendría que ser igual a $\sgn^*$ en $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ lo cual es imposible ya que $\sgn^*$ no se extiende a $\beta\mathbb{Q}$ . Puesto que para $A\subseteq \beta\mathbb{Q}$ tenemos que $\DeclareMathOperator\cl{cl}\cl_{\beta\mathbb{Q}}A =\beta A$ (es decir $A\hookrightarrow \cl_{\beta\mathbb{Q}} A$ es la compactificación Stone-Cech de $A$ ) si $A$ es $C^*$ -integrado en $\beta\mathbb{Q}$ la inclusión $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q} \hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactación Stone-Cech de $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ .
