Son $\beta \mathbb{Q}$ y $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})$ ¿homeomórfico?

Question

La inclusión canónica $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q} \hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech de $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ . Aun así, esto no significa necesariamente que $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})$ y $\beta\mathbb{Q}$ no son homeomórficos, sólo que este mapa en particular no funciona para esta compactificación, por lo que podrían ser homeomórficos menos "canónicamente". Por ejemplo, $\beta(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cong \beta\mathbb{Q}$ pero el mapa $\mathbb{Q}\setminus\{0\}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech de $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ aunque sea una incrustación densa en un espacio compacto homeomorfo a $\beta(\mathbb{Q}\setminus\{0\})$ .

He intentado buscar en Internet algunas propiedades de $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ que excluiría un homeomorfismo, aunque buscando sólo he podido encontrar propiedades que tiene en común con $\mathbb{Q}$ con excepción de la homogeneidad (aunque no creo que esta propiedad en particular tenga mucha importancia). Por ejemplo, $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ es de dimensión cero, no está desconectada en los extremos.

Como en el título, es $\beta\mathbb{Q}\cong \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q})$ ?

Edita: Por sugerencia de @R. van Dobben de Bruyn's comentario He comprobado las cardinalidades de ambos espacios. En el artículo " La compactificación Stone-Cech del mundo racional " de M. P. Stannett se demuestra que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ es separable, por lo que $$\lvert\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\rvert \leq 2^{2^{d(\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}))}} \leq 2^{2^{d(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})}} = 2^\mathfrak{c}$$ mientras que la inclusión $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ induce una suryección $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\to \beta\mathbb{Q}$ Así pues $$\lvert\beta\mathbb{Q}\rvert = \lvert\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\rvert = 2^\mathfrak{c}.$$ Esto demuestra en particular que no hay ningún problema con la cardinalidad. Creo que intentarlo con el peso daría resultados similares, aunque no lo he comprobado.

Edición 2: Aquí está la prueba de mi afirmación de que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}\hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactificación Stone-Cech del espacio $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ . Tenga en cuenta que $\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ es denso en $\beta\mathbb{Q}$ desde $\mathbb{Q}$ no es localmente compacta en ninguna parte. El espacio $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ no es $C^*$ -integrado en $\beta\mathbb{Q}$ la descomposición $$\beta\mathbb{Q}\setminus \{0\} = (\overline{\mathbb{Q}}_+\setminus\{0\}) \cup (\overline{\mathbb{Q}}_-\setminus \{0\})$$ de $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ donde $\mathbb{Q}_+ = (0, \infty)\cap\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}_- = (-\infty, 0)\cap \mathbb{Q}$ en dos conjuntos cerrados disjuntos en $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ muestra que $\DeclareMathOperator\sgn{sgn}\sgn:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ puede ampliarse continuamente a $\sgn^*:\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ pero claramente no a la totalidad de $\beta\mathbb{Q}$ . Si la función $\sgn^*\restriction_{\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}}$ se extendieran continuamente a $\beta\mathbb{Q}$ la extensión tendría que ser igual a $\sgn^*$ en $\beta\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ lo cual es imposible ya que $\sgn^*$ no se extiende a $\beta\mathbb{Q}$ . Puesto que para $A\subseteq \beta\mathbb{Q}$ tenemos que $\DeclareMathOperator\cl{cl}\cl_{\beta\mathbb{Q}}A =\beta A$ (es decir $A\hookrightarrow \cl_{\beta\mathbb{Q}} A$ es la compactificación Stone-Cech de $A$ ) si $A$ es $C^*$ -integrado en $\beta\mathbb{Q}$ la inclusión $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q} \hookrightarrow \beta\mathbb{Q}$ no es la compactación Stone-Cech de $\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}$ .

Answer 1

Permítanme resumir la discusión en los comentarios como respuesta. Permítanme $\chi(x, Y)$ sea el carácter de $x$ en $Y$ es decir, la cardinalidad mínima de una base local del punto $x$ en el espacio $Y$ .

Proposición 1. Si $p\in \beta X\setminus X$ entonces $\chi(p, \beta X)$ es incontable.

Prueba: Si fuera $\chi(p, \beta X) = \aleph_0$ encontraríamos una secuencia $(a_n)\subseteq X$ con $a_n\to p$ y $a_n\neq a_m$ para $n\neq m$ . Desde $\beta X\setminus \{p\}$ es $\sigma$ -compacto, es Lindelöf regular, así que normal. Además, $A = \{a_n : n\in\mathbb{N}\}$ es un subconjunto discreto cerrado de $\beta X\setminus \{p\}$ . Así, la función $f:A\to [-1, 1]$ dada por $f(a_n) = (-1)^n$ tiene una extensión continua $\tilde f$ a $\beta X\setminus \{p\}$ pero no se amplía a $\beta X$ . Esto es una contradicción, porque $\tilde f\restriction_X$ debe ampliarse continuamente a $\beta X$ por lo que la extensión debe ser igual a $\tilde f$ en $\beta X\setminus \{p\}$ .

Proposición 2. Si $S\subseteq X$ es denso, $X$ regular, $p\in S$ entonces $\chi(p, S) = \chi(p, X)$ .

Puede consultarse en el Handbook of Set-theoretic Topology.

Proposición 3. Si $p\in \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q})$ entonces $\chi(p, \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}))$ es incontable.

Prueba: Si $p\in \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})\setminus (\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})$ entonces $\chi(p, \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}))$ es incontable por la proposición 1. Si $p\in \beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}$ entonces $\chi(p, \beta(\beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q})) = \chi(p, \beta\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Q}) = \chi(p, \beta\mathbb{Q})$ por la proposición 2, que es incontable, de nuevo por la proposición 1.

Así $\beta\mathbb{Q}$ tiene elementos de carácter contable mientras que $\beta(\beta\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q})$ no tiene tales puntos, por lo que los dos espacios no son homeomórficos.